§ 6. Исследование устойчивостр при нерезонансных значениях параметров

Теперь рассмотрим устойчивость для значений параметров лежащих в области устойчивости в первом приближении, но не принадлежащих резонансным кривым третьего и четвертого порядков. При таких значениях параметров функция Гамильтона возмущенного движения при помощи преобразования Биркгофа может быть приведена к форме

где с точностью до членов порядка коэффициенты вычисляются по формулам (4.6) седьмой главы,

Исследование устойчивости точек либрации при нерезонансных значениях параметров мы начнем с доказательства следующего утверждения.

Теорема. В области устойчивости в первом приближении при принадлежащем области (2.3) устойчивости в круговой задаче, и при значениях не принадлежащих резонансным кривым третьего и четвертого порядков, треугольные точки либрации в плоской эллиптической ограниченной задаче трех тел устойчивы для большинства начальных условий, если эксцентриситет достаточно мал.

Для доказательства достаточно проверить выполнимость неравенства (см. § 1 главы 5) прие Пусть, как и в главе 8, . Тогда в области (2.3) и 4. Использовав

явные выражения коэффициентов через получим

где через обозначен многочлен третьей степени

Значения многочлена и его производных при таковы:

Так как все эти значения положительны, то многочлен при и 4 положителен и, следовательно, при всех нерезонансных из области (2.3). Тем самым теорема об устойчивости для большинства начальных условий доказана.

Теперь, используя результаты теории многомерных гамильтоновых систем, изложенные в пятой главе, проведем еще анализ с точки зрения формальной устойчивости. Если в системе нет резонансов до четвертого порядка включительно, то функция Гамильтона, нормализованная до членов четвертой степени относительно включительно, будет иметь вид (6.1) и знакоопределенность квадратичной формы Сцтуа в квадранте является достаточным условием формальной устойчивости [138]. Сначала рассмотрим случай отсутствия резонансов до четвертого порядка включительно.

Итак, пусть где — резонансные значения параметра приведенные в табл. 2 и 3, а эксцентриситет малая величина. Знакоопределенность квадратичной формы при будет достаточным условием формальной устойчивости при 0 1.

Так как при для нерезонансных значений из области (2.3) величина положительна, то условие знакоопределенности рассматриваемой квадратичной формы означает, очевидно, одинаковость знаков коэффициентов нормальной формы (6,1) при Все коэффициенты имеют одинаковый знак (именно, положительны) в следующем интервале изменения (см. формулы (4.6) седьмой главы, а также рис.

Таким образом, мы показали, чтов области устойчивость в первом приближении при лежащем в интервале (6.3), и при значениях не принадлежащих резонансным ктшвым третьего и четвертого порядков, треугольные точки либрации формально устойчивы, если эксцентриситет достаточно мал;

Если мы рассмотрим члены выше, четвертого порядка в разложении функции Гамильтона в ряд относительно координат и

импульсов возмущенного движения, то можно показать формальную устойчивость для почти всех значений параметра из оставшегося интервала Пусть лежит в этом интервале и при не выполнены резонансные соотношения до шестого порядка включительно (соответствующие резонансные значения параметра приведены в табл. 5 и 6).

Таблица 5

Таблица 6

Тогда нормализованная до членов шестого порядка включительно функция Гамильтона имеет вид

Если при система уравнений

не имеет решений, кроме тривиального то для достаточно малых совершенно аналогично тому, как это сделано в § 3 предыдущей главы, можно доказать формальную устойчивость точек либрации для всех рассматриваемых сейчас параметров, за исключением, быть может, точек соответствующих двукратному ревонансу

В рассматриваемом сейчас интервале (6.3) изменения параметра ненулевые решения первого уравнения системы (6.5) можно зависать в таком виде:

Расчеты показывают, что во всем интервале (6.3), а только в части этого интервала при Таким образом, в интервале первое уравнение системы (6.5) имеет две серии нетривиальных решений а в интервале одну серию решений

Чтобы выяснить вопрос о совместности системы (6.5), подставим решения первого уравнения во второе уравнение. Тогда получим второе уравнение в виде Если то система уравнений (6.5) имеет только тривиальное решение. Расчеты показали, что функция при обращается в нуль только при одном значении

Таким образом, результаты аналитического исследования формальной устойчивости при нерезонансных значениях параметров ей можно сформулировать в виде такого утверждения.

Теорема. Если эксцентриситет достаточно мал, то в области устойчивости в первом приближении при значениях не равных резонансным значениям приведенным в таблицах 2, 3, 5, 6, и при не равных а также, быть может, значениям из интервала ( соответствующим двукратному резонансу выше шестого порядка, точки либрации формально устойчивы.