ГЛАВА 10. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ

§ 1. Тождественный резонанс

В этой главе, следуя [64, 66], рассмотрим устойчивость треугольных точек либрации пространственной эллиптической задачи трех тел. Задача об устойчивости в этом случае по сравнению с уже рассмотренными в главах 7—9 случаями является самой сложной и громоздкой. Кроме увеличения числа степеней свободы изучаемой динамической системы, здесь возникает еще одна, характерная только для этой задачи, особенность: имеет место тождественный (т. е. существующий при всех резонанс, возникающий из-за равенства периода кеплеровского движения основных притягивающих тел и периода линейных колебаний тела бесконечно малой массы по направлению, перпендикулярному плоскости их орбиты.

Упомянутый резонанс является резонансом первого порядка и в случае общей динамической системы он должен был бы привести к неустойчивости, которая была бы обнаружена уже при анализе линейной системы дифференциальных уравнений возмущенного движения. Но в нашей конкретной задаче в линейном приближении этот резонанс не приводит к неустойчивости. Это происходит потому, что в линейной задаче плоские и пространственные колебания разделяются, а пространственное движение описывается при помощи функции Гамильтона

не содержащей возмущающих членов (имеющих частоту кеплеровского движения), которые могли бы привести к неустойчивости. В нелинейной задаче тождественный резонанс может привести к неустойчивости, но эффект неустойчивости проявляется только при учете в функции Гамильтона членов не ниже четвертого порядка по и при учете в разложениях коэффициентов функции Гамильтона степеней эксцентриситета не ниже второй. Поэтому анализ устойчивости очень громоздок и труден. Ниже он проводится для случая малых значений