§ 6. Оценка точности построенной теории движения КА

6.1. Общие замечания. Среди всего множества траекторий движения КА в окрестности наибольший практический интерес представляют условно-периодические траектории. Наиболее существенным достоинством предложенного в настоящей главе аналитического метода расчета движения КА является возможность приближенного описания многообразия таких траекторий.

Но поскольку реализованная процедура аналитического метода расчета лишь приближенно описывает движение КА, то тем самым и многообразие условно-периодических траектррий определено также приближенно. В частности, в точном решении задачи о движении КА, определяемом начальными данными, соответствующими условно-периодическому движению приближенной задачи, неизбежно будут присутствовать экспоненциально возрастающие функции времени. Для оценки точности приближенного метода было проведено сравнение с результатами численного интегрирования строгих уравнений движения в декартовых координатах. Эти результаты рассматривались как эталонные. Вообще говоря, достаточно точное вычисление координат КА в окрестности неустойчивой особой точки с помощью численного интегрирования также является некоторой проблемой, так как методические ошибки аппроксимации и ошибки округления экспоненциально возрастают. Оценки показали, что их суммарная погрешность на интервале не превышает примерно что существенно меньше ошибок приближенного метода. Поэтому для наших целей результаты численного интегрирования можно принять за эталон.

Эталонные расчеты проводились в двух вариантах.

1 Движение КА определяется решением точной системы уравнений ограниченной задачи трех тел (Земля — Луна — Движение Луны эллиптическое.

2) Движение КА определяется решением точной системы уравнений ограниченной задачи четырех тел (Земля — Луна — Солнце — Геоцентрические координаты и компоненты вектора скорости Луны определяются численным интегрированием уравнений задачи трех тел (Земля — Луна — Солнце).

Первый из этих вариантов служит для выявления возможных грубых ошибок алгоритма и оценки методических ошибок, связанных с учетом в приближенной теории предыдущего параграфа членов лишь до конечного порядка малости. Второй вариант оценивает степень пригодности построенной в предыдущем параграфе теории в случае эллиптической задачи трех тел для описания реального движения при наличии солнечных возмущений. В обоих вариантах сравнение результатов проводилось на траекториях, соответствующих приближенно условно-периодическим траекториям для различных начальных значений .

6.2. Результаты численных экспериментов в эллиптической задаче. Сравнение результатов, полученных приближенным методом, с результатами эталонных расчетов проводилось для трех траекторий, определяемых такими начальными данными при

где и 0,02. Эти значения соответствуют орбитам, удаленным от точки примерно на 2000, 4000 и 8000 км.

Обозначим через и та геоцентрические радиусы-векторы КА, вычисленные соответственно в приближенном и эталонном расчетах. Ошибку приближенного метода расчета будем оценивать величинами компонент вектора

В результате вычислений с различными значениями были получены зависимости компонент вектора от времени. Эти зависимости представлены на рис. 45 сплошными линиями.

Рис. 45. Ошибки аналитической теории в случае эллиптической ограниченной задачи трех тел.

Видно, что ошибка достигает величины 50 — 70 км за время 15, 10 и 5 сут соответственно для и 0,02. В последующие моменты времени ошибки растут очень быстро и при и 10. сущ соответственно превосходят

Если в трех рассмотренных вариантах зафиксировать интервал времени сут (это примерно половина периода либрации КА в окрестности системы Земля Луна), то максимальные ошибки составят соответственно. Из-за влияния неучтенных членов нормализованного гамильтониана можно ожидать ошибку, пропорциональную С этим примерно

согласуется зависимость изохронной ошибки от выявленная в результате проведенных расчетов.

Дополнительный расчет с начальными данными, соответствующими точке либрации показал, что в этом случае максимальная ошибка достигается только через 20 сут (см. рис. 45, г), а в конце семисуточного интервала ошибка не превосходит

На рис. 45 пунктирными линиями показана зависимость ошибок от времени для случая, когда приближенные расчеты выполнены в рамках линейной теории, т. е. в уравнениях движения отброшены нелинейные члены относительно переменных

Из рисунков видно, что в этом случае с увеличением вдвое изохронная ошибка увеличивается в четыре раза. Сравнение сплошных и пунктирных кривых показывает, как и следовало ожидать, существенную роль нелинейных членов.

6.3. Ошибки теорий в случае учета солнечных возмущений.

Рис. 46. Ошибки аналитической теории при учете солнечных возмущений.

Проверка точности построенной теории движения вблизи при учете солнечных возмущений была осуществлена следующим образом [40]: необходимые для расчета координатные переходы § 3 осуществлялись основании реального движения Луны (которое задавалось табличным способом, причем нужные таблицы получались из численного интегрирования задачи четырех тел Земля — Луна — Солнце — а нормализующие

преобразования § 5 осуществлялись на основе эллиптического движения Луны, причем для элементов орбиты Луны принимались их оскулирующие значения на начальный момент времени Таким образом, влияние Солнца на относительное движение не учитывалось.

Расчеты проводились для тех же начальных данных, что и в предыдущем параграфе. Зависимости от времени представлены на рис. 46 для . Сравнение рис. 45, г и 46, г показывает, что недостаточно полный учет солнечных возмущений приводит к более быстрому нарастанию ошибки. Резкое нарастание ошибки в рассматриваемом варианте происходит примерно на двенадцатые сутки (а не на двадцатые сутки, как в эллиптической задаче).

Из сравнения результатов приближенного решения эллиптической задачи трех тел и задачи четырех тел при различных следует, что при основные ошибки обусловлены недостаточно полным учетом солнечных возмущений. При определяющими становятся нелинейные члены, неучтенные в приближенной методике. В конце семисуточного интервала времени ошибка составляет 3,5, 30, 60 и 300 км для соответственно.

Для оценки зависимости методической ошибки от начального положения Луны и Солнца была проведена дополнительная серия расчетов с Оказалось, что ошибка слабо зависит от этих параметров и в конце семисуточного интервала для всех вариантов изменяется в пределах 50—80 км.

Заметим, что для рассматриваемой методики очень существенно использование в расчетных формулах параметров реального (а не эллиптического) движения Луны. Попытка аппроксимировать движение Луны на семисуточном интервале времени формулами задачи двух тел приводит к ошибкам определения геоцентрических координат порядка 1000—2000 км.