§ 3. Разложение отображения в ряд

Обратимся снова к системе дифференциальных уравнений (1.1). Предположим, что правые части аналитичны по пространственным переменным в окрестности периодического решения системы (1.1). Тогда решения систему (1.1) тоже будут аналитическими относительно начальных данных, достаточно близких к Из непрерывной зависимости решений от начальных данных следует, что решения системы (1.1) с начальными условиями, близкими к определены при Поэтому оператор точечного отображения определен при начальных условиях, достаточно близких к Будем считать для простоты, что неподвижная точка оператора совпадает с началом координат, и найдем разложение оператора в ряд по степеням начальных данных.

Разложение оператора в ряд можно получать разными способами: можно искать общее решение в виде ряда по начальным

данным, можно применять численное дифференцирование по чальным данным. Как правило, эти способы весьма сложны. Но часто можно использовать те или иные специфические свойства системы (1.1), вытекающие из характера изучаемой динамической системы.

Мы интересуемся точечными отображениями, задаваемыми гамильтоновой системой дифференциальных уравнений. Пусть эта система имеет периодическое решение, совпадающее с началом координат, а функция Гамильтона аналитична по координатам и импульсам и -периодична по Использование гамильтонова характера системы (1.1) существенно упрощает нахождение разложения оператора в ряд.

Обратим внимание на то, что преобразование фазового пространства при помощи движения гамильтоновой системы является каноническим [16]. Переменные получаются из при помощи формул

где главная функция Гамильтона, т. е. действие функция Лагранжа), выраженное через начальные координаты, конечные координаты и конечный момент времени

Мы, однако, будем искать преобразование иначе. Будем находить не прямое преобразование, а обратное, т. е. будем считать, что движение гамильтоновой системы переводит систему с функцией Гамильтона в систему с функцией Гамильтона, тождественно равной нулю. Тогда новые координаты и импульсы будут Далее, будем искать не само преобразование а производящую функцию этого преобразования.

Обозначим через производящую функцию преобразования (Здесь и в дальнейшем ). Формулы преобразования имеют вид

Производящая функция удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби

Полагая в найдем начальные условия

положив и разрешив (3.1) относительно получим разложение оператора в ряд по

Пусть функция Гамильтона изучаемой системы записана в полярных координатах и имеет вид

где при однородные формы степени относительно содержащие угловые аргументы синусов и косинусов как комбинации вида целые числа), предполагается заданной в нормальной форме

Будем искать производящую функцию отображения в виде ряда

в котором имеет структуру, аналогичную структуре Подставив (3.3) и (3.5) в уравнение (3.2) и приравняв формы одинаковых степеней в обеих его частях, получим

Здесь через обозначен оператор

Так как имеет вид (3.4), то первому уравнению из (3.6) можно удовлетворить функцией

Из (3.1) следует, что при таком выборе начальные условия для должны быть нулевыми. Покажем, как получить формы в явном виде.

Возьмем в правой части какого-либо из уравнений (3.6) два одночлена вида

Здесь введены обозначения — целые

числа). Соответствующие одночлены в функции ищем в виде

Для функций сие получаем систему неоднородных дифференциальных уравнений

Решение этой системы имеет вид

где

Полагая теперь в получаем производящую функцию точечного отображения в окрестности неподвижной точки