§ 4. Результаты нелинейного исследования устойчивости

С. Г. Журавлевым в работах [25, 184, 185] проведено подробное нелинейное исследование устойчивости точек либрации для значений параметров принадлежащих области рис. 48, где выполняются необходимые условия устойчивости. Нелинейное исследование представляет значительные трудности, потому что в области как показано в статье [184], гамильтониан возмущенного движения не будет знакоопределенной функцией. Здесь ситуация совершенно аналогична той, которая имеет место в задаче об устойчивости треугольных точек либрации круговой ограниченной

задачи трех тел (см. главы 7 и 8 книги). Совсем не останавливаясь на очень громоздких вычислениях, проведенных в работах [25, 184, 185], приведем только окончательные результаты.

Рассмотрим сначала случай плоской задачи, т. е. случай когда материальная точка во все время движения не выходит из плоскости экваториального сечения эллипсоида. В статье [1841 показано, что в области I существуют кривые, на которых частоты удовлетворяют резонансным соотношениям третьего и четвертого порядков Эти кривые представлены на рис. 48. Расчеты, проведенные в [184, 185], показали, что для значений параметров лежащих на кривой и на части кривой где выполняется неравенство , точки либрации неустойчивы и» Ляпунову. В остальной части области точки либрации устойчивы по Ляпунову (кроме, быть может, двух точек кривой в которых или эти две точки разделяют на кривой интервалы устойчивости и неустойчивости, в них вопрос об устойчивости остался открытым). Отметим, что для исследования устойчивости в нерезонансном случае в работах [184, 185], как и в главе 7 настоящей книги, пришлось учесть в разложении гамильтониана члены до шестого порядка включительно относительно координат и импульсов возмущенного движения.

В случае пространственной задачи, т. е. когда материальная точка в возмущенном движении может выходить из плоскости экваториального сечения эллипсоида, неустойчивость на кривой: и на части резонансной кривой конечно, остается. Если же параметры таковы, что резонансные соотношения не выполнены, то, как показано в работе [25], точки либрации, лежащие на продолжении малой полуоси экваториального сечения эллипсоида, будут устойчивы для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий.

В статье [184] рассмотрен вопросов устойчивости точек либрации для случая Земли. Фигура Земли аппроксимировалась при помощи эллипсоида, мало отличающегося от шара. Параметры оказались очень малыми и не лежат на кривых Поэтому для Земли точки либрации, расположенные на продолжении малой полуоси экваториального сечения аппроксимирующего эллипсоида, устойчивы по Ляпунову (в плоской задаче) или устойчивы для большинства. начальных, условий (в пространственной задаче).