§ 2. Краткая предыстория решения задачи об устойчивости лагранжевых решений

Легко проверить, что уравнения движения с гамильтонианом (1.3) допускают такое частное решение:

Это частное решение соответствует периодическому движению Лагранжа (точке либрации) задачи трех тел. Для решения (2.1), в случае эллиптической задачи, три тела во все время движения образуют в абсолютном пространстве равносторонний треугольник, длины сторон которого периодически изменяются. В случае круговой задачи длины сторон треугольника постоянны. Решение (2.1) обозначается через Симметричная относительно оси треугольная точка либрации обозначается через

Задача об устойчивости треугольных точек либрации в противоположность задаче об устойчивости прямолинейных точек оказалась чрезвычайно сложной. К настоящему времени полный завершающий ответ на вопрос об устойчивости по Ляпунову треугольных точек либрации получен не во всех случаях. Полное решение вопроса достигнуто только в плоской круговой задаче. Но в плоской эллиптической задаче, в пространственной круговой и пространственной эллиптической задачах достигнуто значительное продвижение, так что практически и здесь задача об устойчивости очень близка к полному завершению. Изложению и обсуждению всех этих результатов посвящены настоящая и последующие три главы книги. Но сначала изложим очень краткую предысторию решения задачи об устойчивости треугольных точек либрации.

Необходимое условие устойчивости треугольных точек либрации круговой задачи трех тел

упоминается, по-видимому, впервые в 1843 году в работе Гашо [134].

В 1875 году Раусс [169] решил (в линейном приближении) задачу об устойчивости треугольных точек либрации для неограниченной задачи трех тел (когда масса тела не бесконечна мала, а равна некоторой конечной величине, так что тело уже само влияет на движение двух других тел и для произвольного закона притяжения. Рассмотрев плоскую задачу и предположив, что притяжение тел пропорционально произведению их масс и обратно пропорционально степени расстояния между телами, Раусс показал, что при точки либрации неустойчивы. Если же то имеет место устойчивость при выполнении неравенства

Здесь массы тел соответственно. Для случая ограниченной задачи при ньютоновском притяжении неравенство (2.3) переходит в условие устойчивости (2.2). В 1889 году А. Ляпунов рассмотрел задачу об устойчивости в линейном приближении треугольных точек либрации для случая неограниченной пространственной задачи трех тел при притяжении тел, обратно пропорциональном степени расстояния между ними. Стороны треугольника, образованного тремя телами в невозмущенном движении, А. Ляпунов не считает постоянными, а они могут периодически изменяться. Результаты исследования А. Ляпунова опубликованы в его замечательной работе [48]. Результаты, полученные Рауссом, следуют из результатов Ляпунова как частный случай. В недавних работах А. Куницына [34, 147] дана интересная геометрическая интерпретация условия устойчивости (2.3) в линейном приближении и сделана попытка получения некоторых строгих выводов об устойчивости в нелинейной задаче.

Исследования А. Ляпунова по устойчивости в линейном приближении точек либрации плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел были продолжены в работах [19, 42, 99, 103, 104, 110, 136, 144, 152, 153, 160, 161]. На результатах этих работ мы подробнее остановимся в главе 9.

Важный шаг в задаче об устойчивости точек либрации (в плоской ограниченной круговой задаче) был сделан в 1959 году Литлвудом [152, 153]. Он показал, что при начальном возмущении порядка отклонение тела от вершины треугольника будет иметь тот же порядок в течение интервала времени, равного где величина А зависит только от

Начало полному строгому решению задачи об устойчивости треугольных точек либрации ограниченной задачи трех тел было положено в 1962 году в работе А. Леонтовича [37], в которой для случая плоской круговой задачи показано, что устойчивость точек либрации имеет место при всех удовлетворяющих

необходимому условию устойчивости в линейном приближении (2.2), кроме, быть может, множества значений имеющего нулевую меру. В 1967 году Депри показали [111], что это исключительное множество состоит всего из трех значений

В недавнее время задача об устойчивости треугольных точек либрации подробно была рассмотрена в цикле работ автора [56, 58, 59, 62—67]. К ним примыкает также совсем недавняя работа А. Г. Сокольского [88]. Все полученные результаты будут подробно изложены ниже. В этой главе проведем исследование треугольных точек либрации в плоской круговой задаче трех тел.