§ 2. О периодических орбитах вблизи L4. Гамильтониан движения КА в окрестности L4

Результаты предыдущего параграфа приводят к выводу о том, что при учете солнечных возмущений космический аппарат с течением времени удаляется от треугольных точек либрации на значительные расстояния. Однако это вовсе не означает, что в окрестности точек либрации не могут существовать устойчивые орбиты. Открытие Кордылевским [100, 101] облакоподобных образований вблизи точек в системе Земля — Луна вызвало большой интерес и привлекло внимание многих исследователей к задаче об устойчивых орбитах, близких к треугольным точкам либрации.

Аналитическое исследование периодических орбит вблизи треугольных точек либрации в системе Земля — Луна с учетом солнечных возмущений было начато Брэквилом и Принглем [106] при помощи методов теории возмущений гамильтоновых систем. Это аналитическое исследование было продолжено Шехтером [170], который впервые с достаточной строгостью показал возможность существования устойчивых периодических орбит вблизи точки либрации системы Земля — Луна при наличии солнечных возмущений.

Устойчивая периодическая орбита, обнаруженная Шехтером, представляет собой эллипс с центром в с отношением полуосей и большой полуосью, равной приблизительно 96 500 км. Движение КА по эллипсу имеет период, равный одному синодическому месяцу, и происходит в направлении, противоположном вращению Луны вокруг Земли. Движение КА по эллипсу синхронизировано с движением Солнца: их угловые положения почти совпадают, когда КА пересекает одну из осей эллипса. Таким образом, относительно наблюдателя, расположенного в и

смотрящего в направлении Солнца, КА движется поперек его линии визирования подобно гармоническому осциллятору. Время пересечения линии визирования космическим аппаратом почти совпадает со временем, в которое линия визирования совмещается с большой или малой осью эллипса.

Из анализа, проведенного Шехтером, также следует, что на движение КА вне плоскости орбит Земли и Луны Солнце оказывает незначительное воздействие, а влияние пространственности движения КА на проекцию его траектории на плоскость орбит Земли и Луны пренебрежимо мало.

Вслед за работой Шехтера появилось исследование Коленкевича и Карпентера [146], в котором задача о периодических движениях, близких анализировалась при помощи численных расчетов. Работа [146] подтверждает вывод Шехтера о существовании устойчивой периодической орбиты вблизи Но размеры этой орбиты получены в работе Коленкевича и Карпентера несколько большими, нежели у Шехтера: ее большая полуось равна примерно а малая — Это различие может быть объяснено приближенностью аналитического исследования Шехтера. Кроме того, Коленкевичем и Карпентером найдена вторая устойчивая периодическая орбита, размеры которой очень близки к размерам первой орбиты, но движение по ней смещено по фазе на 180° относительно движения по первой орбите.

Рис. 40. Плоская модель для описания движения КА вблизи с учетом солнечных возмущений.

В упомянутых работах Шехтера, Коленкевича и Карпентера указывается также на существование вблизи малой по размерам неустойчивой периодической орбиты.

Очень тщательное аналитическое исследование задачи о периодических орбитах вблизи в системе Земля — Луна с учетом солнечных возмущений выполнено Кэмилом в работе [144]. Качественные результаты Кэмила аналогичны результатам работ [146, 170]. Размеры полученных им орбит очень близки к размерам орбит, вычисленных Коленкевичем и Карпентером. Ниже излагаются основные результаты обширного исследования Кэмила.

Выпишем полученное в [144] выражение для функции Гамильтона, с помощью которой описывается движение КА вблизи треугольной точки либрации системы Земля — Луна с учетом солнечных возмущений. На рис. 40 приведена схема изучаемой задачи четырех тел Земля —

Луна — Солнце — КА. Рассматривается только плоская задача, т. е. предполагается, что Земля, Луна, Солнце и КА во все время движения находятся в одной плоскости. Это предположение оправдано тем, что из анализа, проведенного Шехтером, следует, что пространственность движения несущественна в рассматриваемой задаче о периодических движениях КА. Точка определяется как треугольная точка либрации, соответствующая «средней Земле» и «средней Луне». Предполагается, что барицентр В движется относительно Солнца по круговой орбите, орбита Луны относительно барицентра — также круговая. Средняя угловая скорость движения Луны относительно барицентра равна 0,23 рад/сут. За единицу длины принимается расстояние между Землей и Луной, равное

Цифрами (1), (2) и (3) на рис. 40 обозначены соответственно реальные положения Земли, Луны и Солнца. Величина представляет собой отношение массы Луны к сумме масс Луны и Земли, величина средняя угловая скорость барицентра В относительно Солнца. Принимается, что

Величины смысл которых ясен из рис. 40, вычислены в работе Кэмила [144] при помощи теории Луны Понтекулана [84, 164]. В дальнейшем в этой главе за независимую переменную принимается величина

Пусть у обозначают координаты КА относительно системы координат Ьцху (см. рис. 40), а соответствующие им импульсы.

Примем за основную величину, необходимую для сравнения порядков малости различных величин, входящих в функцию Гамильтона. Будем считать, что имеют первый порядок малости относительно Среднее значение эксцентриситета орбиты Луны также имеет первый порядок малости: В [144] получено, что функция Гамильтона движения КА вблизи с точностью до величин шестого порядка малости имеет вид

где

(кликните для просмотра скана)

В разложении считается величиной первого порядка жалости (так как величиной нулевого порядка. Через обозначено среднее расстояние от барицентра В до Солнца

Точкой в формулах (2.3) — (2.6) обозначено дифференцирование по величины порядка тк. При этом

где

и

где

В разложениях для и в формулах (2.8) и (2.10) не выписаны члены четвертого порядка относительно Величины и входящие в разложение функции Гамильтона (2.1), вычисляются по формулам

где

а через обозначена начальная долгота перигея орбиты Луны относительно инерциальной линии (см. рис. 40). Отметим, что в «невозмущенный» гамильтониан разложения (2.1) для удобства включены все члены, квадратичные относительно и имеющие постоянные коэффициенты.