§ 6. Задача о параметрическом резонансе. Линейные гамильтоновы системы, содержащие малый параметр

В конкретных механических задачах матрица системы (1.1) обычно зависит от одного или нескольких параметров. Задача о параметрическом резонансе для системы (1.1) состоит в определении тех значений параметров, при которых характеристическое уравнение системы (1.1) имеет корни с модулями, большими единицы.

Эта задача подробно изучена в работах А. М. Ляпунова, М. Г. Крейна, В. А. Якубовича, В. М. Старжинского, И. М. Гельфанда и В. Б. Лидского, Ю. Мозера и др. Полученные результаты изложены в монографии [97], где приведена и обширная библиография по устойчивости линейных систем с периодическими коэффициентами. Здесь мы ограничимся рассмотрением задачи о параметрическом резонансе для тех частных случаев, которые типичны для рассматриваемых далее конкретных задач небесной механики. Будем предполагать, что функция Гамильтона Н, соответствующая системе (1.1), имеет вид

где квадратичные формы переменных причем коэффициенты формы о постоянны, а коэффициенты форм непрерывные, вещественные функции с общим периодом

Прежде чем переходить к задаче о параметрическом резонансе, рассмотрим зависимость мультипликаторов (и характеристических показателей) от параметра Так как функция Гамильтона (6.1) предполагается аналитической относительно то правые части системы (1.1) также аналитичны. Тогда, как известно, любое решение системы (1.1), для которого начальное значение не зависит от будет аналитическим относительно В частности, аналитическими будут элементы фундаментальной матрицы решений Отсюда получаем следующую теорему А. Ляпунова: если правые части системы (1.1) аналитичны относительно то коэффициенты характеристического уравнения (4.3) будут аналитическими функциями причем область их аналитичности совпадает с областью аналитичности правых частей системы (1.1).

Но при этом мультипликаторы (и характеристические показатели) не обязательно аналитичны. В самом деле, рассмотрим характе ристическое уравнение (4.3):

где коэффициенты аналитические функции И пусть какой-либо корень уравнения (6.2) при Если он не является кратным и, следовательно, то на основании теоремы о неявной функции при достаточно малом отличном от нуля, существует единственный корень для которого При этом аналитическая функция и аналитичен соответствующий характеристический показатель, В том же когда кратный корень и, следовательно, задача о зависимости корней уравнения от при становится более сложной. Если корень имеет кратность, равную то уравнение (6.2) при имеет [20] корней, обращающихся при эти корни аналитичны относительно

где Аналогичная зависимость от будет иметь место и для характеристических показателей. Отметим, что независимо от кратности корня при корни уравнения (6.2) при во всяком случае, непрерывны по

Теперь рассмотрим систему (1.1) при Это будет система с постоянными коэффициентами. Пусть корень ее характеристического уравнения. Получим условия аналитичности мультипликаторов системы (1.1) при

Мультипликатор характеристического уравнения (4.3) системы (1.1) с -периодическими коэффициентами при имеет вид Согласно теореме Ляпунова — Пуанкаре (см. § 4), вместе с мультипликатором существует мультицликатор Отсюда получаем, что харак теристическое уравнение (4.3) при имеет кратные корни в том и только в том случае когда выполняется соотношение

Таким образом, если корни характеристического уравнения системы (1.1) при не связаны соотношениями (6.3), то ее мультипликаторы при аналитичны относительно

Отметим, что при некоторых дополнительных условиях С. Шимановым показана [52] аналитичность мультипликаторов и при выполнении равенств (6.3).

Допустим, что характеристическое уравнение системы (1.1) при имеет корень с отличной от нуля вещественной частью. Тогда, согласно § 1, оно имеет корень — следовательно, у характеристического уравнения обязательно есть хотя бы один корень с положительной вещественной частью. А значит, при малых значениях 8, отличных от нуля, характеристическое уравнение (4.3) имеет корни с модулями, большими единицы. В этом случае задача о параметрическом резонансе, как видим, проста и неинтересна.

Пусть теперь при характеристическое уравнение системы (1.1) имеет только чисто мнимые корни Тогда уравнение (4.3) при имеет только такие корни, модули которых равны единице. Изучим поведение мультипликаторов при малых отличных от нуля.

Сначала рассмотрим простейший случай, когда при нет кратных мультипликаторов, т. е. когда, согласно (6.3), выполняются неравенства

Ясно, что в этом случае, в силу непрерывности мультипликаторов, они останутся некратными и при достаточно малых

Кроме того, при достаточно малых мультипликаторы не могут иметь модули, большие единицы. Этот вывод является простым следствием из теоремы Ляпунова — Пуанкаре о характеристическом уравнении (4.3). Согласно этой теореме, мультипликаторы расположены симметрично относительно единичной окружности. При малых значениях они не могут сойти с окружности, не нарушив указанной симметрии.

Рис. 4. Простые и кратные мультипликаторы на единичной окружности.

Действительно, рассмотрим для наглядности случай Характеристическое уравнение (4.3) будет уравнением четвертого порядка. Пусть — его корни при Будем изображать их на комплексной плоскости (рис. 4). Пусть при малых один из корней, например сошел с окружности и стал по модулю больше единицы. Из-за вещественности матрицы комплексно сопряженный корень необходимо сместился бы в точку, симметричную относительно вещественной оси. А так как число всех корней равно четырем, то у корня не оказалось бы обратного по величине, что противоречит теореме Ляпунова — Пуанкаре.

Таким образом, если при отсутствуют кратные мультипликаторы или, что то же, выполняются условия (6.4), то гамильтонова система (1.1) при устойчива, если величина достаточно мала.

Если же при существуют кратные мультипликаторы, расположенные в некоторой точке А единичной окружности (рис. 4), то при они могут, вообще говоря, сойти с окружности. При этом они могут расположиться, как изображено на рис. 4, и симметрия мультипликаторов относительно единичной окружности не будет нарушена. Но смещение мультипликаторов с единичной окружности происходит не всегда [33], и, следовательно, в случае кратных мультипликаторов система (1.1) не обязательно неустойчива при Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Предположим, что характеристические показатели при таковы, что среди величин нет кратных. Тогда функцию в (6.1) при помощи линейной канонической замены переменных можно привести (см. § 2) к сумме гамильтонианов не связанных друг с другом осцилляторов, и функция Гамильтона (6.1) запишется в виде

где квадратичные формы новых переменных с непрерывными, -периодическими по коэффициентами. Очевидно, что задачи о параметрическом резонансе в старых и новых переменных эквивалентны. Но теперь для нас существенно, что величины в (6.4) имеют вполне определенный знак, полученный в процессе нормализации

Имеет место теорема Крейна — Гельфанда — Лидского 197], которая в наших обозначениях формулируется так.

Теорема. Для достаточно малых линейная система с гамильтонианом (6.5) устойчива тогда и только тогда, когда величины от не связаны соотношениями

Иными словами, знак минус в соотношении (6.4) можно опустить, а при выполнении хотя бы одного из равенств (6.6) всегда можно так подобрать в (6.5), что соответствующая линейная система будет неустойчива. Число в (6.6) отлично от нуля, так как среди величин нет кратных.