§ 6. Гамильтониан возмущенного движения

Будем исследовать устойчивость периодического движения (5.15) по отношению к возмущениям частоты периодического движения (или, что то же самое, по отношению к возмущениям переменной «действие» 10 невозмущенного периодического движения) и по отношению к возмущениям

Пусть малая, но конечная, величина (рассматриваются малые периодические движения). Пусть I — переменная «действие» возмущенного периодического движения, связана с 10 соотношением

где возмущение переменной «действие». Знак величины

произволен. При этом величины первого, а второго порядка малости, и по самому своему смыслу все эти величины, в отличие от являются бесконечно малыми величинами.

Декартовы координаты возмущенного периодического движения через записываются в виде

Частота (5.16) исследуемого периодического движения, записанная через принимает вид

Подставляя в гамильтониан (5.11) вместо величины (6.2) и собирая члены одинакового порядка по получаем функцию Гамильтона возмущенного движения в виде

где

В (6.5)-(6.7) значок означает, что вместо в соответствующие формы надо подставить выражения а

Функция Гамильтона (6.4) имеет период по переменной В (6.4) точками обозначены члены, порядок малости которых относительно величин не ниже пятого.

Итак, первые два этапа схемы исследования орбитальной устойчивости локальным методом (см. § 3) пройдены.