ГЛАВА 12. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К ТРЕУГОЛЬНЫМ ТОЧКАМ ЛИБРАЦИИ КРУГОВОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
§ 1. Введение
В главах 7—10 подробно исследована задача об устойчивости треугольных точек либрации. По-видимому, для задач, связанных с исследованием треугольных точек либрации, следующим важным вопросом является вопрос о существовании, построении и устойчивости периодических движений, близких к точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел. Рассмотрению этого вопроса посвящена настоящая глава.
В 1899 году Шарлье (см., например, 
а затем в 1901 году Пламмер [163], использовав фундаментальные результаты Ляпунова [49] и Пуанкаре [82], установили существование двух семейств малых периодических движений, близких к треугольным точкам либрации плоской круговой ограниченной задачи трех тел. Затем последовало большое число работ в основном зарубежных авторов, в которых результаты Шарлье и Пламмера развивались и уточнялись. По-видимому, завершающей работой «немашинного» этапа исследования периодических движений вблизи треугольных точек либрации можно считать работу Ю. А. Рябова 1952 года [83]. Методы, основанные на использовании ЭВМ, были созданы в работах Депри, Рэйба, Хенрарда, Шмидта и др. [114—123, 140, 165—167, 172], и к настоящему времени задача построения периодических движений, близких к треугольным точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел, получила большое развитие.
В работах Депри [114, 115] предложен метод аналитического продолжения, который тесно связан с классическими процедурами Ляпунова и Пуанкаре и по сути дела сводится к рекуррентному вычислению коэффициентов разложения периодического движения в ряд по орбитальному параметру. В [114, 115] описан приспособленный для ЭВМ алгоритм нахождения этих коэффициентов, который позволяет учитывать в разложении периодического движения большие степени орбитального параметра.
Наверное, более интересна и эффективна другая модификация метода аналитического продолжения, основанная на использовании теории возмущений Депри — Хори и описанная в работах Депри и Хенрарда [116, 117].
Применение метода аналитического продолжения позволило сделать вывод о том, что из-за медленной сходимости рядов,
описывающих периодическое движение, для построения периодических орбит с большими амплитудами этот метод мало пригоден, даже если учитывать очень большие степени малого орбитального параметра. В этом случае на помощь приходит метод численного продолжения, впервые примененный в работах Рэйба [165—167] и наиболее полно описанный в работе Депри и Хенрарда [119].
В работах [114 - 121, 165 - 167] методы аналитического и численного продолжения использованы для построения периодических орбит, рождающихся из треугольных точек либрации систем Солнце — Юпитер и Земля — Луна. Кроме того, в этих работах найдены характеристические показатели, соответствующие построенным орбитам.
В статье Депри [122] исследованы периодические движения при значениях отношения масс основных тел, больших критического значения 
а в работах [140, 172] рассмотрен вопроси существовании периодических движений при таких значениях отношения масс 
для которых их существование не следует из теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле.
В обзорной статье Депри и Хенрарда [123] обсуждаются результаты исследований периодических орбит плоской круговой ограниченной задачи трех тел, которые были получены после 1966 года. Результаты более раннего периода описаны в монографии Себехея [175].
Все вышеупомянутые работы посвящены исследованию периодических движений в рамках плоской круговой ограниченной задачи и не был рассмотрен вопрос об устойчивости периодических движений в строгой нелинейной постановке.
В настоящей главе рассматривается задача о построении и устойчивости малых периодических движений, близких к треугольным точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел в плоском и пространственном случаях. Задача об устойчивости решается в строгой нелинейной постановке. При изложении результатов мы следуем работам [68, 69].
