§ 2. Нормальная форма автономной системы линейных гамильтоновых уравнений в случае простых чисто мнимых корней характеристического уравнения

Продолжим исследование линейной системы дифференциальных уравнений (1.1). Предположим, что соответствующее ей характеристическое уравнение (1.3) имеет только простые чисто мнимые корни. Обозначим их через Знаки вещественных величин пока не фиксируем. Они будут определены ниже. Найдем вещественное линейное каноническое преобразование приводящее систему (1.1) к нормальной форме. Нормальной формой системы уравнений (1.1) мы называем такую систему дифференциальных уравнений, которой соответствует функция Гамильтона, равная алгебраической сумме гамильтонианов линейных, не связанных между собой осцилляторов:

Решение задачи о получении нормальной формы линейной системы (1.1) необходимо при исследовании устойчивости нелинейных уравнений возмущенного движения, при анализе нелинейных колебаний, при построении приближенных решений нелинейных гамильтоновых систем, где в качестве первого приближения берется обычно решение линейной задачи. Поэтому крайне желательно выбирать такие координаты, в которых решение линейной задачи записывалось бы наиболее просто. Простейшей вещественной формой уравнений (1.1) и будет нормальная форма.

Общая задача об алгебраических свойствах линейных систем гамильтоновых дифференциальных уравнений исследована достаточно подробно [15, 28, 49, 90, 98, 109, 145,149,154, 157, 179-183]. Для систем с постоянными коэффициентами в работах [15, 28, 98] получены конструктивные методы нормализации. Мы рассмотрим задачу получения нормальной формы иначе, чем в упомянутых работах [15, 28, 98], и получим алгоритм нормализации, который будет весьма простым, так как его применение сводится только к нахождению собственных векторов матрицы

Введем обозначение Тогда, учитывая (2.1), получим, что нормальная форма линейной системы (1.1) запишется в виде следующей гамильтоновой системы уравнений:

где вещественная диагональная матрица, диагональные

элементы которой определены равенствами

Переход от переменных к переменным у зададим с помощью матрицы А в виде равенства

Из (1.1) и (2.2)-(2.3) получаем, что матрица А должна удовлетворять следующему матричному уравнению:

Кроме того, для каноничности преобразования (2.3) матрицу А ищем симплектической [16], т. е. она должна удовлетворять еще одному матричному уравнению

Решение матричного уравнения (2.4) не единственно. Чтобы найти нормализующее преобразование, надо из бесчисленного множества решений матричного уравнения (2.4) выбрать хотя бы одно вещественное, удовлетворяющее уравнению (2.5).

Решение А уравнения (2.4) будем искать в виде где матрица С определена равенством

Подставив в уравнение (2.4) вместо А его выражение через получим следующее уравнение для нахождения матрицы В:

где диагональная форма матрицы Для ее диагональных элементов имеют место равенства Таким образом, теперь надо найти матрицу В, приводящую матрицу исходной системы уравнений (1.1) к диагональной форме. Она строится следующим образом [17]. Ее столбцами должны быть собственные векторы матрицы Именно, пусть столбец матрицы В будет собственным вектором соответствующим собственному числу столбец будет вектором соответствующим собственному числу

Собственные векторы определяются с точностью до постоянного множителя. Примем этот множитель вещественным и одинаковым для векторов Кроме того, соответствующие компоненты этих векторов выберем комплексно сопряженными. Такой выбор собственных векторов обеспечивает вещественность матрицы А. Произвольные множители собственных векторов определяются из условия их нормировки, которое ниже будет получено из условия (2.5) каноничности преобразования (2.3).

Подставив выражение в уравнение (2.5), получим

Рассмотрим подробно матрицу которую для краткости обозначим через Элемент этой матрицы, как нетрудно проверить, равняется скалярному произведению векторов

Но так как для любых двух векторов а и справедливо равенство

то отсюда следует, что матрица кососимметрическая. Рассмотрим дальше структуру матрицы Докажем, что если

Для доказательства рассмотрим очевидное равенство

Перепишем это равенство, преобразуя его левую и правую части. Имеем

Последнее равенство можно переписать в виде

Так как согласно упорядочению собственных чисел, введенному при построении матрицы В, величина только в случае то из (2.12) следует, что если Таким образом, матрица имеет такую структуру:

где диагональная матрица порядка с элементами Ни один из элементов не равняется нулю, так как в противном случае определитель матрицы равнялся бы нулю. Но

так как матрица В составлена из собственных векторов, соответствующих различным собственным числам матрицы

Пусть действительная и мнимая части собственного вектора соответствующего собственному числу А. Тогда, учитывая комплексную сопряженность соответствующих компонент

векторов получим для элементов матрицы такие выражения:

Теперь из равенства (2.8) получим такое условие, обеспечивающее симплектичность матрицы А:

Равенство (2.15) является, с одной стороны, условием нормировки собственного вектора а с другой — условием для выбора знака в функции Гамильтона (2.1). Действительно, приравняв в уравнении кткек действительную и мнимую части, получим такую систему уравнений для

При одновременном изменении знаков и компонент вектора система уравнений (2.16) не изменяется. Знак же скалярного произведения изменяется на противоположный. Поэтому равенству (2.15) можно всегда удовлетворить выбором знака в гамильтониане (2.1) и соответствующей нормировкой собственного вектора

Произведя некоторые вычисления, получим, что симплектическая матрица А нормализующего преобразования невырожденная, вещественная и ее столбцом будет вектор вектор