§ 2. Точки либрации — частные решения ограниченной задачи трех тел

Покажем, что уравнения (1.10) удовлетворяются некоторыми постоянными значениями координат Нехвила ?. Из (1.9) — (1.10) сразу следует, что постоянное решение

возможно только тогда, когда удовлетворяют системе уравнений с двумя неизвестными

Система уравнений (2.2) эквивалентна совокупности двух систем уравнений:

Каждому решению систем (2.3) — (2.4) соответствует в системе координаторе равновесное решение уравнений движения (1.10). В системе координат точки неподвижны и равновесные решения соответствуют таким частным движениям тела когда они вместе с телами образуют некоторую неизменную конфигурацию.

Рис. 2. Прямолинейные и треугольные точки либрации.

Равновесные решения уравнений Нехвила (1.10) часто называют точками либрации. Существуют только пять точек либрации. Три из них, лежат на прямой, проходящей через а две остальные, образуют с телами равносторонние треугольники. Схематически расположение точек либрации ограниченной задачи трех тел показано на рис. 2. Точки либрации называют прямолинейными и треугольными точками либрации соответственно.

Б абсолютной системе координат точки либрации соответствуют таким частным движениям в задаче трех тел, для которых три тела описывают подобные кеплеровские орбиты относительно их общего центра масс.

Найдем теперь точки либрации, т. е. решения систем уравнений (2.3) и (2.4). Рассмотрим сначала систему (2.4). Подставив выражение для из первого уравнения системы (2.4) во второе уравнение, получим

и тогда из первого уравнения следует, что

Воспользовавшись теперь выражением (1.9) для получим, что система уравнений (2.4) имеет единственное вещественное решение Это решение соответствует треугольным точкам либрации (см. рис. 2). Точка задается координатами а точка имеет координаты . Она расположена симметрично точке относительно оси

Прямолинейные точки либрации найдутся из второго уравнения системы (2.3). которое при запишется в таком виде

Функция непрерывна и конечна на всей вещественной оси, кроме значений 1, равных и где она обращается в бесконечность. Вычислим производную функции . Имеем

В каждом из трех интервалов

на которые числовая ось разбивается точками разрыва функции последняя монотонно возрастает, как это видно из вырат жения для производной (2.8). Учитывая еще тот факт, что при положительном стремящемся к нулю, имеют место следующие предельные соотношения:

получаем, что в каждом из интервалов (2.9) существует, и притом

только одно, решение уравнения (2.7). Эти решения и дают три прямолинейные точки либрации. По сложившейся традиции точка либрации, лежащая в интервале обозначается через точка либрации, лежащая в интервале обозначается через наконец, точка либрации лежит в интервале

Покажем, абсцисса каждой из прямолинейных точек либрации удовлетворяет некоторому алгебраическому уравнению пятой степени, которое для каждой из точек либрации записывается по своему.

Получим сначала уравнение для точки Обозначим через расстояние от точки до тела Тогда и из уравнения (2.7) получаем алгебраическое уравнение пятой степени относительно

Чтобы получить уравнение для точки положим Здесь теперь есть расстояние от точки либрации до тела Из (2.7) получаем

И, наконец, для получения уравнения, определяющего положение точки либрации положим где расстояние от точки до тела Уравнение, определяющее имеет вид

Как следует из вышеизложенного, каждое из уравнений имеет единственный положительный корень. При малых значениях значения корней можно найти в виде рядов. Значения координаты определяющей положение прямолинейной точки либрации может быть легко вычислено (см., например, [22]). Получаются следующие разложения:

Из (2.13) видно, как изменяется положение прямолинейных точек либрации, когда меньшая из двух конечных масс уменьшается. Точка перемещается слева направо, приближаясь к своему предельному положению, совпадающему с телом меньшей массы Положение точки также стремится совпасть с положением

тела но это стремление происходит справа налево. Точка либрации при уменьшении перемещается слева направо, стремясь к своему предельному положению, находящемуся на единичном расстоянии слева от тела большей массы

Уравнения позволяют также оценить расстояния от точек либрации до тел при произвольных значениях Обозначим через левые части уравнений определяющих положения точек либрации относительно тел Имеют место соотношения

Соотношения (2.14) показывают, что расстояния точек либрации и соответственно от тел при всех лежат в интервале Точка либрации расположена между центром масс тел и телом меньшей массы. Отметим еще очевидный факт, что точка либрации совпадает с центром масс тел в том случае, когда их массы равны

На рис. 3 представлены графики абсцисс , соответствующих точкам либрации в зависимости от Эти: графики получены с помощью численного решения уравнения (2.7) при произвольных из интервала (0, 1/2).

Рис. 3. Корни уравнения (2.7) как функции

Если в Солнечной системе учитывать только притяжение Солнца и одной из планет, то каждой планете будут соответствовать три прямолинейных точки либрации. Таким образом, тела бесконечно малой массы, попав в любую из этих точек либрации с нулевой относительной скоростью, все время двигалось бы по эллипсу, подобному эллипсу соответствующей планеты, и оставалось бы на прямой, проходящей через эту планету и Солнце. В реальной ситуации надо, конечно, учитывать и малые возмущения от других планет.

Таблица 1 (см. скан)

Точки либрации для различных тел Солнечной системы представлены в табл. 1.

За единицу расстояния в табл. 1 принята длина соответствующего радиуса-вектора тела меньшей массы относительно тела большей массы. Интересно отметить, что точки либрации для всех планет расположены значительно дальше, чем орбиты спутников этих планет. Например, для системы Солнце — Земля точки либрации лежат от Земли на расстоянии, превосходящем расстояние Между Землей и Луной примерно в четыре раза.