§ 3. Общие сведения о линейных системах с периодическими коэффициентами

Рассмотрим линейную систему

где — непрерывная, -периодическая по матрица. Докажем, следуя [21], теорему у структуре общего решения системы (3.1).

Теорема (Флоке). Для системы (3.1) фундаментальная матрица решений нормированная условием представима в виде

где матрица В — постоянная, непрерывно дифференцируемая, -периодическая по

Для доказательства заметим прежде всего, что так как фундаментальная матрица решений уравнения (3.1), то в силу

-периодичности матрицы фундаментальной будет также матрица А это значит, что справедливо равенство

где С — постоянная матрица. Положив в получим, что Таким образом,

Очевидно, что Значит, как всякая невырожденная матрица, представима [17] в виде

Теперь положим

и проверим, что -периодическая матрица. Имеем

Таким образом, -периодична, а из (3.5), кроме того, видно, что она непрерывно дифференцируема. Из (3.5) следует еще, что фундаментальная матрица представима в виде (3.2). Это и доказывает теорему Флоке.

Следует отметить, что матрицы вообще говоря, комплексные [32].

Для дальнейшего введем некоторые определения. Собственные числа матрицы В, т. е. корни уравнения

называются характеристическими показателями системы (3.1). Собственные числа матрицы чорни уравнения

называются мультипликаторами системы (3.1).

Очевидно, что

или

Из последнего равенства видно, что значения характеристических показателей определяются по значениям мультипликаторов неоднозначно.

Приведем еще без доказательства следующие два утверждения [51] о характеристическом уравнении (3.7): 1) характеристическое уравнение не зависит от выбора фундаментальной матрицы решений, 2) характеристическое уравнение не изменится, если систему (3.1) подвергнуть невырожденному линейному преобразованию с -периодическими коэффициентами.

Теперь рассмотрим задачу о приводимости системы (3.1). Система (3.1) называется приводимой, если существует замена переменных

такая, что система (3.1) преобразуется в систему с постоянными коэффициентами, а -периодическая матрица непрерывно дифференцируемая, ограниченная при всех и такими же свойствами обладает обратная матрица Имеет место следующая теорема Ляпунова [49]: линейная система (3.1) с непрерывной периодической матрицей приводима.

Для доказательства теоремы Ляпунова примем за матрицу преобразования (3.10) матрицу определенную равенством (3.5). Она непрерывно дифференцируема и ограничена при всех вместе со своей обратной. Остается только показать, что преобразованная система будет системой с постоянными коэффициентами. В этом легко убедиться, подставив

в (3.1). Произведя выкладки, получим

Таким образом, характеристические показатели суть корни характеристического уравнения преобразованной системы (3.12).

Ясно, что задачи об устойчивости систем (3.1) и (3.12) эквивалентны. Поэтому из проведенных рассмотрений следует, что система (3.1) устойчива тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы принадлежат замкнутому единичному кругу причем в случае существования кратных мультипликаторов, лежащих окружности матрица приводится к диагональной форме.