§ 6. Исследование устойчивости в случае целого числа 4 «лямбда»

Если число не будет целым, то в переменных гамильтониан запишется в виде

где Я вычисляется по формулам (5.4) — (5.7). Пусть Делая замену переменных с производящей функцией

можно упростить члены четвертой степени в новой функции Гамильтона й, которая, как показывают выкладки, будет при этом иметь вид

где и имеет период по В (6.1) введены следующие обозначения:

Если то можно перейти к переменным по формулам, аналогичным формулам (5.9). Получим

где а функция и периодична по с периодами и соответственно.

Теорема. Если то положение равновесия неустойчиво, если же то имеет место устойчивость по Ляпунову.

Для доказательства первого утверждения этой теоремы возьмем функцию Ляпунова

функция V будет знакопеременной в окрестности начала координат. Для ее производной получаем такое выражение:

При выполнении неравенства функция (6.5) будет определенно-положительной в достаточно малой окрестности начала координат. Следовательно, положение равновесия неустойчиво.

Докажем теперь устойчивость при выполнении неравенства Нетрудно проверить, что в этом случае в системе с «укороченным» гамильтонианом

переменная будет периодической, монотонной функциями Сделаем каноническое преобразование, приводящее к к переменным действие I — угол [8, 36]. Переменные действие — угол связаны с соотношениями

Здесь производящая функция канонического преобразования Интеграл в (6.7) вычисляется при условии

где функция обратная к

при этом в (6.9) означает функцию получаемую из (6.8) Заметим, что знаки коэффициентов в гамильтониане (6.3) можно считать одинаковыми. Если это не так, то, вводя вместо переменной угол получим гамильтониан, у которого эти коэффициенты будут иметь одинаковые знаки. Введем обозначение В силу условий доказываемой теоремы выполняются неравенства После несложных вычислений, использующих различные формулы для эллиптических функций и интегралов из [18, 26, 91], получим из (6.7) — (6.9)

явное выражение для производящей функции

где полный и неполный эллиптические интегралы первого рода, — их модуль. Из (6.7) и (6.10) находим выражение старых переменных через переменные действие — угол:

В переменных функция Гамильтона (6.3) имеет вид

где функция при достаточно малых I аналитична относительно

Сделаем еще одну каноническую замену переменных

где малый положительный параметр В переменных уравнения движения запишутся в виде

Величины порядка в -периодичны по -периодичны по и при достаточно малых а аналитичны по в кольце Пусть начальные значения лежащие в этом кольце. Проинтегрировав систему (6.14) от до получим отображение кольца, которое сохраняет площадь, так как система (6.14) гамильтонова (теорема Лиувилля о сохранении фазового объема [16]). При малых а это отображение имеет вид

где -периодичны по 0 и аналитичны по в кольце .

Отображение (6.15) удовлетворяет всем условиям теоремы Мозера об инвариантных кривых. Поэтому в кольце существуют кривые, инвариантные при отображении (6.15). Следовательно, траектория системы (6.14), начинающаяся между инвариантными кривыми, при всех остается в кольце

Учитывая связь переменной и исходных переменных, получаем отсюда устойчивость положения равновесия системы (3.1). Теорема доказана.

Сделаем в заключение параграфа два замечания. Во-первых, отметим, что при выполнении неравенства существует степенной ряд (возможно, расходящийся), который формально является знакоопределенным интегралом системы (3.1) [158]. Согласно только что доказанной теореме, из существования формального интеграла в нашей задаче следует устойчивость по Ляпунову.

Второе замечание касается «критического» случая В этом случае члены четвертого порядка по х, у в гамильтониане (3.2) не решают вопроса об устойчивости. Система с «укороченным» гамильтонианом (6.6) неустойчива. Но члены более высокого порядка могут либо сделать ее устойчивой, либо оставить неустойчивой. Первый случай реализуется, например, в системе с гамильтонианом

а второй — в системе, имеющей функцию Гамильтона

В первом случае устойчивость очевидна из-за существования знакоопределенного интеграла неустойчивость во втором случае следует, например, из существования частного решения

которое неограниченно возрастает при как бы ни были малы начальные значения .