§ 2. Перенесение теоремы Четаева на точечные отображения

В работе [76] Неймарком доказана теорема, представляющая собой перенесение теорем Ляпунова об устойчивости и неустойчивости на точечные отображения. Нам в дальнейшем, однако, потребуется теорема о неустойчивости неподвижных точек точечного отображения, аналогичная теорема Четаева о неустойчивости движения. Докажем следующую теорему, представляющую собой перенесение теоремы Четаева на точечные отображения.

Теорема. Пусть неподвижная точка отображения и пусть возможно найти такую непрерывную функцию что

2) в сколь угодно малой окрестности точки существует область на границе которой

3) во всех точках области разность положительна.

Тогда неподвижная точка неустойчива.

Доказательство теоремы аналогично соответствующим доказательствам Четаева и Неймарка. Зафиксируем некоторое достаточно малое число . Через обозначим пересечение области и замкнутой -окрестности точки Возьмем точку сколь угодно близкую к неподвижной точке и принадлежащую По условиям теоремы такой выбор точки всегда возможен, так как область примыкает к точке Покажем, что при выполнении условий теоремы при некотором точка лежит вне -окрестности точки

Предположим противное, т. е. пусть точки при всех лежат в -окрестности. Тогда последовательность будет ограниченной. Кроме того, ни одна точка этой последовательности

не может выйти из области так как по третьему условию теоремы

Рассмотрим теперь числовую последовательность Эта последовательность будет ограниченной в силу непрерывности функции Кроме того, она будет монотонно возрастающей, так как, согласно третьему условию теоремы,

Следовательно, существует предел этой последовательности

Из ограниченной последоватеьности выделим сходящуюся подпоследовательность

Пусть точка будет пределом этой последовательности

Рассмотрим выражение

и перейдем в нем к пределу при к Получим

что противоречит третьему условию теоремы.