§ 9. Некоторые анизотропные упругие материалы

Из реальных анизотропных тел в первую очередь следует назвать монокристаллы различных веществ, а также стержни и пластинки, вырезанные из монокристаллов.

Доказано, что существует всего 32 вида геометрической симметрии кристаллов, объединенных в семь сингоний, носящих названия: 1) триклинная, 2) моноклинная, 3) ромбическая, 4) тетрагональная, 5) тригональная, 6) гексагональная и 7) кубическая. Всякий натуральный кристалл обладает одним из 32-х видов симметрии и может быть отнесен к одной из семи сингоний [33]. Что касается классов упругой симметрии, то их значительно меньше, так как одна и та же форма уравнений обобщенного закона Гука имеет место для нескольких видов геометрической симметрии. По упругим свойствам все кристаллы могут быть разбиты только на девять классов или групп. Выражения упругого потенциала (а следовательно, и уравнений обобщенного закона Гука) для этих девяти классов можно найти, например, в курсе А. Лява [24] (гл. 6, п. 109) и в ряде работ, упоминающихся ниже, а поэтому мы, не занимаясь специально упругостью кристаллов, можем их не приводить. Отметим только, что упругие постоянные кристаллических веществ — монокристаллов, минералов и горных пород, определялись экспериментальным путем многими исследователями. В первую очередь нужно назвать классические исследования Фойгта, изложенные в его курсе кристаллофизики [38]. Приводим найденные Фойгтом значения упругих постоянных кварца (горного хрусталя), образующего кристаллы тригональной сингонии (12 неравных нулю постоянных (ось z направлена по оси симметрии третьего порядка, ось х - по оси второго порядка):

Численные значения упругих постоянных для ряда монокристаллов и минералов приведены в работе Ауэрбаха [104]. Литература по этому вопросу указана также в статье Гекелера [117]. В обзорной статье К. С. Александрова и Т. В. Рыжовой [40] приведены упругие постоянные более двухсот веществ, образующих кристаллы различных син-гоний, дан большой список литературы и указаны различные методы определения упругих постоянных (см. также [95]).

Известны также упругие постоянные ряда горных пород, в частности, мелкозернистых и тонкослоистых. Благодаря слоистости эти породы в первом приближении можно рассматривать как однородные и трансверсально-изотропные. Приведем численные значения упругих постоянных для одной из таких пород — для алевролита крупного темно-серого. Это тонкослоистая, плотно сцементированная осадочная порода, состоящая на 60—70% из обломков кварца и полевого шпата. Цементирующий материал в количестве 40—30% всего состава — глинистый, с примесью мусковита и кальцита. Толщина слоев порядка

Направляя ось z нормально к плоскостям слоев, которые в первом приближении рассматриваются как плоскости изотропии, имеем для этого материала уравнения обобщенного закона Гука (4.9). Экспериментальным путем найдены следующие значения модулей Юнга и сдвига и коэффициентов Пуассона (см. [65]):

(последние три величины менее точны, чем первые, так как найдены не экспериментальным путем, а на основании вычислений).

Несмотря на заметное различие между упругими постоянными алевролит следует признать слабо анизотропным, так как параметры, позволяющие судить о степени анизотропии, у него близки к параметрам изотропного тела. В конкретных случаях задания формы тела, изготовленного из алевролита, и усилий напряжения будут мало отличаться от напряжений в

изотропном теле той же формы и также нагруженном. Упругие постоянные для многих анизотропных минералов и горных пород имеются в справочнике [31].

В связи с вопросом об упругих свойствах горных пород представляет интерес работа Батугина С. А. и Ниренбург Р. К. [47]. В ней собраны численные значения всех технических упругих констант для сорока семи различных горных пород, которые в первом приближении можно рассматривать, как трансверсально-изотропные (алевролиты, филлиты, сланцы, песчаники, известняки, граниты, грано-диориты и др.). Численные значения констант взяты из экспериментальных исследований разных авторов. Анализ этих данных позволил прийти к следующему выводу. Хотя модуль сдвига для плоскостей, нормальных к плоскости изотропии, строго говоря, является независимой константой и никак не связан с остальными упругими постоянными, тем не менее для сорока пяти пород (из 47) можно указать приближенную формулу, связывающую с главными модулями Юнга и коэффициентами Пуассона. В наших обозначениях (см. уравнения (4.9)) эта приближенная формула имеет вид

В случае изотропного тела она переходит в точную формулу для модуля сдвига: Таким образом, для сорока пяти обследованных пород можно с достаточной для практики точностью считать, что число независимых упругих констант равно не пяти, а четырем. Как будет показано в главе 4, степень (или интенсивность) анизотропии в случае двухмерной (плоской) задачи характеризуется двумя величинами. Анизотропию же указанных выше пород можно характеризовать только одной величиной и за эту величину авторы предлагают принимать отношение главных модулей:

Из некристаллических анизотропных материалов можно указать на древесину разных пород дерева с правильными годичными слоями. Строго говоря, древесина — материал неоднородный, но если пренебречь кривизной слоев и неоднородностью, то брусок из древесины можно в первом приближении рассматривать как однородное тело. В нем можно различить три ортогональные плоскости

симметрии структуры, которые одновременно являются и плоскостями упругой симметрии: первая, yz, нормальна к древесным волокнам, вторая (тангенциальная), ху, параллельна годичным слоям и третья (радиальная) xz ортогональна к первым двум (рис. 10). Все плоскости, параллельные yz, xz и ху, также будут плоскостями упругой симметрии (разумеется, при достаточно правильной структуре, когда отсутствуют трещины, сучки и другие пороки древесины). Уравнения обобщенного закона Гука, отнесенные к указанной системе координат, будут иметь вид (4.4) и (4.6) и в них войдут девять независимых (и инвариантных) упругих постоянных.

Рис. 40.

Иногда пользуются упрощенной моделью древесины — рассматривают ее, как трансверсально-изотропный материал, т. е. пренебрегают различием упругих свойств для разных направлений в плоскостях, нормальных к волокнам.

Приведем зпачения некоторых упругих постоянных и графики для сосны, используя работы [79] и [85] модули Юнга для растяжения и сжатия в направлениях вдоль волокон и тангенциальных):

Величины получены непосредственно из эксперимента, а модуль сдвига вычислен по формуле преобразования упругих постоянных на основании данных эксперимента. На рис. И показана кривая зависимости модуля Юнга от направления сжатия, взятая из работы

A. Л. Рабиновича, в которой имеется и ряд других графиков для упругих постоянных (см. [85]). На рис. 12 — направляющая кривая модуля Юнга сосны.

Рис. 11.

В неоднократно упоминавшейся книге Е. К. Ашкенази и Э. В. Ганова [6] имеются подробные таблицы численных значений всех девяти постоянных древесины двенадцати различных пород дерева (стр. 54—57 и 60-79).

Рис. 12.

Другим примером анизотропного материала может служить фанера. Лист фанеры обычно изготовляется из нечетного числа слоев древесины (шпона), расположенных симметрично относительно среднего и склеенных по поверхностям контакта тем или иным связующим; у большинства марок фанеры направления волокон соседних слоев взаимно перпендикулярны. Лист фанеры представляет собой неоднородное тело, но если размеры велики по сравнению с толщиной слоев, то в первом приближении его можно рассматривать как однородную и ортотропную пластинку, т. е. пренебречь неоднородностью. Плоскости упругой симметрии нормальны к древесным волокнам.

Пусть рассматривается обобщенное плоское напряженное состояние фанерной пластинки, т. е. напряженное состояние, вызванное усилиями, действующими в ее

срединной плоскости. Примем срединную плоскость всего листа фанеры за плоскость ху инаправим оси х и у параллельно и перпендикулярно волокнам наружных слоев (см. рис. 13, где показан элемент трехслойной фанеры). Тогда, вводя в рассмотрение средние по толщине значения составляющих напряжения и деформации, параллельных срединной плоскости пренебрегая средним мы запишем три уравнения обобщенного закона Гука таким образом:

Рис. 13.

Здесь осредненные технические упругие постоянные для всей пластинки в целом (они зависят от упругих констант слоев, их числа и толщин).

Мы приведем численные значения упругих постоянных для четырех видов фанеры:

1) Трехслойная березовая фанера, склеенная бакелитовой пленкой. Эта фанера представляет собой материал с резко выраженной анизотропией, который очень удобен для иллюстрации теоретических исследований по плоской задаче, в частности, по вопросу о концентрации напряжений вблизи отверстий. Почти все наши исследования мы иллюстрировали именно на этом материале; сопоставление графиков напряжений в пластинке из березовой фанеры и в изотропной пластинке очень наглядно показывает, как влияет анизотропия на распределение напряжений. Значения упругих постоянных имеются в наших книгах [20]-[22]. В настоящей работе, исследуя распределение напряжений в пластинках с отверстиями, мы также приводим графики напряжений в пластинке из березовой фанеры и такой же изотропной.

2) Клееная фанера сорт; семь слоев шпона, толщина листа

3) Бакелизированная фанера БФС; семь слоев шпона, толщина листа —

4) Фанера повышенной водостойкости толщина листа —

Упругие постоянные фанеры 2), 3) и 4) (из уравнений мы берем из справочника Е. К. Ашкенази и Э. В. Ганова [6] (стр. 84).

В таблице 6 приводятся численные значения упругих постоянных всех четырех видов фанеры, а именно: модули для растяжения вдоль главных направлений (вдоль волокон рубашки и поперек волокон), а также модули для растяжения под углом 45° к волокнам; модули сдвига и коэффициенты Пуассона и

Таблица 6 (см. скан) Упругие постоянные фанеры (четыре вида)

Заметим, что в справочнике [6] модуль сдвига для фанеры ФСФ не дан, но его можно вычислить, зная (что и сделано).

Говоря об анизотропных материалах, необходимо хотя бы кратко остановиться на современных композиционных материалах, получивших к настоящему времени широкое распространение в современной технике благодаря их ценным прочностным, упругим и другим свойствам. Такие материалы состоят из армирующих элементов высокой прочности и жесткости и из менее прочного и жесткого связующего, обеспечивающего монолитность композиции. Большое распространение получили

стеклопластики, состоящие из пластмассы, армированной очень тонкими стеклянными волокнами, нитями (прядями), скрученными жгутами из 100—200 волокон или стеклотканями различного переплетения. Одни стеклопластики создаются путем контактного формирования при холодном отверждении связующего, другие — путем намотки стеклянных нитей, жгутов, лент и горячего прессования и с помощью других технологических процессов. Сведения о стеклопластиках — о том, какие виды их применяются в технике, как они изготовляются, их марки и т. д. можно найти в книгах [6] (глава 1) и [7] (также глава 1). Там же подробно излагаются вопросы о прочностных и упругих свойствах стеклопластиков, о величинах, характеризующих эти свойства и о методике определения прочностных и упругих характеристик (см. также монографию Кинциса Т. Я., Розе А. В. и Жигуна И. Г. [12]). Одной из первых работ по вопросу о стеклопластиках (вида СВАМ) была работа Бурова А. К. и Андреевской Г. Д. [9].

Армированный материал можно с некоторым приближением рассматривать как однородную и анизотропную упругую среду, обладающую, в зависимости от структуры армирования, тем или иным видом структурной симметрии, которая влечет за собой упругую симметрию. Одни стеклопластики можно рассматривать как ортотропные упругие среды (разумеется, лишь в тех пределах, в каких деформации под действием внешней нагрузки можно считать упругими); другие — как трансверсально-изотропные и даже как изотропные среды. Вопрос о том, как теоретически определять упругие характеристики армированного материала, подробно изучен в статье В. В. Болотина [49]. Из многочисленных стеклопластиков мы рассмотрим три вида, имеющие важное значение для судостроения. Этим стеклопластикам посвящены две статьи — шести авторов [44] и Ашкенази Е. К. и Морозова А. С. [43], которые содержат исчерпывающие сведения об этих материалах. Кроме того, рассмотрим еще один стеклопластик, сведения о котором имеются в справочнике [6]. Перечислим все эти материалы.

1. Однонаправленный намоточный стеклопластик. Состоит из связующего, армированного параллельными стеклянными волокнами. По сравнению со

стеклопластинами другой структуры обнаруживают наибольшую прочность и жесткость в направлении армирования. Может рассматриваться как трансверсально-изотропное тело с плоскостями изотропии, нормальными к волокнам. Направив ось z вдоль волокон, мы будем иметь для такого тела уравнения обобщенного закона Гука в форме (4.8) и (4.9).

2. Слоистый стеклопластик ортогонального армирования. В основе его — несколько слоев параллельных нитей, причем слои с волокнами, направленными определенным образом, чередуются со слоями, у которых нити перпендикулярны к нитям первого слоя (например, слой

1-го рода — слой 2-го рода — слой 1-го рода и т. д., что обозначается как или два слоя первого рода — слой

2-го рода — два слоя 1-го рода и т. д.; обозначается 2 : 1 и т. д.). Этот материал можно рассматривать как ортотропный, у которого одна плоскость упругой симметрии нормальна к волокнам 1-го рода, другая — нормальна к волокнам 2-го рода и третья параллельна слоям (ортогональна к первым двум). Для этого материала и двух остальных (3) и справедливы уравнения обобщенного закона Гука (4.6).

3. Тканевый стеклопластик горячего прессования СТЭТ.

Таблица 7 (см. скан) Упругие постоянные стеклопластиков (четыре вида)

4. Стеклопластик на основе стеклоткани марки и полиэфирной смолы марки

Для четырех указанных материалов получены все упругие постоянные; значения их приведены в таблице 7.