§ 17. Растяжение и изгиб стержня, обладающего цилиндрической анизотропией

Рассмотрим стержень в виде цилиндра или призмы произвольного сечения, изоготовленный из упругого материала, обладающего цилиндрической анизотропией. Предположим, что ось анизотропии параллельна оси стержня и проходит внутри его, вне или по поверхности. Пусть этот стержень растягивается осевой силой и собственным весом (рис. 17) или деформируется моментами, приложенными на концах (рис. 21).

Для того чтобы найти распределение напряжений и деформаций, нужно определить шесть составляющих напряжений и три проекции смещения, удовлетворяющие основной системе уравнений равновесия упругого тела и граничным условиям. В данном случае удобнее всего пользоваться цилиндрическими координатами, принимая ось анизотропии за ось z, и тогда основная система принимает вид

где упругие постоянные, а ее, связаны с проекциямиперемещения зависимостями (1.3).

Возникает естественный вопрос: будут ли распределения напряжений в растягиваемом или изгибаемом стержне с цилиндрической анизотропией совпадать с теми простыми распределениями, какие получаются в однородном анизотропном или изотропном стержне? На этот вопрос в общем случае приходится ответить отрицательно.

Остановимся на случае растяжения осевой силой без учета собственного веса (рис. 17). В стержне с прямолинейной анизотропией или изотропном получается элементарное распределение напряжений:

(S - площадь поперечного сечения). Уравнения равновесия и граничные условия, очевидно, удовлетворены, а из уравнений обобщенного закона Гука должны определиться перемещения Находя по этим напряжениям перемещения путем интегрирования последних шести уравнений системы (17.1), мы убеждаемся, что это можно сделать только в том случае, когда постоянная равна нулю; если же то уравнения оказываются несовместными. Но предположим, что условие совместности выполнено. Тогда получим

Здесь постоянные, выражающие жесткие смещения.

Перемещение содержит член, пропорциональный углу 0. Это значит, что оно будет многозначной функцией координат, если и ось анизотропии проходит внутри тела (по телу или а полости), так как при обходе по замкнутому контуру, окружающему ось анизотропии, получит приращение Многозначности не будет, если или ось анизотропии

проходит вне тела или по поверхности, так как тогда ее нельзя окружить замкнутым контуром, лежащим целиком внутри стержня. Многозначность перемещений указывает на непригодность решения (17.2); перемещения всегда должны быть однозначными функциями координат.

Таким образом, мы приходим к следующему выводу. Элементарное распределение напряжений (17.2) может получиться в стержне с цилиндрической анизотропией только в двух частных случаях: 1) ось анизотропии проходит вне стержня или по образующей боковой поверхности и ось анизотропии проходит внутри стержня и упругие постоянные удовлетворяют условиям

Второе из этих условий можно сформулировать таким образом: коэффициенты Пуассона, характеризующие сжатие в радиальных и тангенциальных направлениях и 0, при растяжении в осевом направлении z должны быть равны.

Если стержень, обладающий цилиндрической анизотропией, растягивается под действием собственного веса, то элементарное распределение напряжений (11.9) имеет место только в том случае, когда упругие постоянные удовлетворяют условиям:

независимо от того, где проходит ось анизотропии, так как (17.5) являются условиями совместности системы уравнений, определяющих перемещения.

Это же можно сказать и относительно изгиба стержня моментами Распределение напряжений в стержне с цилиндрической анизотропией будет таким же, как в однородном анизотропном или изотропном стержне только при выполнении условий (17.5) (также независимо от того, где проходит ось анизотропии).

Исследованию упругого равновесия стержней с цилиндрической анизотропией более общего вида посвящена глава 5 этой книги.