§ 11. Общие уравнения теории упругости и постановка основных задач. Важнейшие вариационные принципы

Напряженное состояние упругого тела можно считать известным, если известны составляющие напряжений в любой его точке (и в любой момент времени, если рассматривается движение тела). Деформированное состояние определяется составляющими деформации, которые зависят от трех проекций перемещения на координатные направления. Таким образом, для полного суждения о напряженно-деформированном состоянии тела, находящегося под действием внешних сил, нам нужно определить девять функций: шесть составляющих напряжения и три

проекции смещения. В частности, если мы пользуемся декартовыми координатами, переменными независимыми являются координаты х, у, z и время.

Полную систему уравнений для определения шести составляющих напряжения и трех проекций перемещения мы получим, взяв три уравнения равновесия или движения сплошной среды и добавив к ним шесть уравнений обобщенного закона Гука. Такая система, содержащая все неизвестные функции и состоящая из девяти независимых уравнений (три уравнения равновесия или движения сплошной среды и шесть уравнений обобщенного закона Гука), называется основной системой уравнений равновесия или движения упругого тела ([26], [20]).

Остановимся на случае, когда мы пользуемся декартовыми координатами Основная система уравнений равновесия для тела, не имеющего элементов упругой симметрии, запишется так:

где в случае малых деформаций связаны с перемещениями формулами (1.2); проекции объемных сил на единицу объема.

Если рассматривается движение, то уравнения движения отличаются от уравнений равновесия только тем, что в первых трех уравнениях (11.1), в правых частях, должны стоять не нули, а члены, пропорциональные вторым производным от перемещения по времени: - плотность, т. е. масса единицы объема вещества). Остальные уравнения записываются так же, как (11.1). Система (11.1) может быть заменена эквивалентной. Можно уравнения обобщенного закона Гука взять в форме, решенной относительно о их (они будут содержать модули или исключить из системы (11.1) напряжения или перемещения (первое значительно легче) и т. д.

Задача об упругом равновесии анизотропного тела сводится к определению девяти указанных функций, удовлетворяющих системе (11.1) (или ей эквивалентной) и условиям на поверхности.

В зависимости от того, что именно задается на поверхности, различают три основные задачи статики упругого тела: первую, вторую и смешанную (см. [26], стр. 70—72).

Первая основная задача. На всей поверхности задаются внешние усилия; требуется определить напряжения и перемещения в любой точке внутри тела и на поверхности. Можно задать на поверхности три составляющие внешних усилий — проекции их на три несовпадающие направления, например, нормальную составляющую о и две проекции касательных усилий на два ортогональных направления. Чаще всего задают три проекции усилий на направления координатных осей — направление внешней нормали к поверхности; составляющие усилий относятся к единице площади).

Граничные условия запишутся следующим образом:

Вторая основная задача. На всей поверхности задаются проекции перемещения на три несовпадающих направления; например, проекции на оси декартовой прямоугольной системы координат. Граничные условия будут иметь вид

Смешанная задача. На части поверхности задаются усилия, а на другой части перемещения. Граничные условия на первой части поверхности запишутся в виде (11.2), а на второй — в виде (11.3). К смешанным же нужно отнести и такие задачи, когда на поверхности задаются: одна составляющая усилий (например, нормальная) и две составляющие перемещения, или одна составляющая перемещения и две составляющие усилий и т. д. В зависимости от формы тела и распределения усилий часто бывает удобнее пользоваться не декартовой, а подходящей криволинейной системой координат.

Исключая из системы (11.1) составляющие напряжения, получим три уравнения, содержащие только проекции перемещения. Для случая ортотропного тела, движущегося под действием внешних усилий или испытывающего свободные колебания, уравнения движения в проекциях перемещения имеют такой вид:

(в задаче о свободных колебаниях

Единственность решения уравнений равновесия однородного тела, испытывающего малые деформации, когда составляющие деформации являются линейными функциями производных от перемещений по координатам, устанавливается теоремой Кирхгофа.

Если отыскание точного решения задач о равновесии упругого тела встречает затруднения (а с такими случаями часто приходится встречаться на практике), можно для определения приближенных решений использовать вариационные методы, подробно изложенные в книге Л. С. Лейбензона [17] и в [18]. Основой этих методов являются принцип возможных перемещений и принцип наименьшей работы.

Принцип возможных перемещений. Возможными или виртуальными мы будем называть такие перемещения в упругом теле, при которых оно остается сплошным, а граничные условия на частях поверхности деформированных заданным образом или закрепленных

(т. е. на тех, где заданы перемещения), удовлетворяются. Иначе говоря, это — перемещения, допускаемые геометрическими связями, наложенными на упругое тело.

Пусть проекции внешних поверхностных сил (на единицу площади), проекции объемных сил (на единицу объема), V — потенциальная энергия деформации всего тела, выраженная через составляющие перемещения, и вариации перемещений, допускаемые геометрическими связями.

Согласно принципу возможных перемещений при упругом равновесии тела мы будем иметь

Это уравнение называется вариационным уравнением Лагранжа; в нем дифференциал объема, дифференциал поверхности, — вариация потенциальной энергии деформации, соответствующая вариациям перемещений. Тройной интеграл берется по всему объему тела, а двойной (поверхностный) — по той части поверхности, где заданы усилия. Отсюда, преобразуя (11.5), приходим к выводу, что перемещения, имеющие место в действительном состоянии равновесия, отличаются от всех возможных тем, что они сообщают минимальное значение выражению (см. [17], стр. 141, или [18], стр. 314—317)

Принцип наименьшей работы. Рассмотрим наряду с действительными напряжениями имеющими место в упругом теле, находящемся в равновесии под действием внешних сил, еще статически возможные, т. е. удовлетворяющие уравнениям равновесия сплошной среды и условиям на тех частях поверхности, где заданы усилия. Обозначим эти возможные напряжения так:

Напряжения удовлетворяют так же, как и уравнениям равновесия

сплошной среды и условиям на поверхности, где заданы усилия. Следовательно, вариации напряжений удовлетворяют однородным уравнениям равновесия сплошной среды и условиям на поверхности:

причем на той части поверхности, где заданы усилия. Аналитическим выражением принципа наименьшей работы является вариационная формула Кастилиано:

Здесь V — потенциальная энергия деформации, как функция составляющих напряжения, ее вариация, соответствующая вариациям этих составляющих. После преобразования заключаем, что напряжения, соответствующие действительному состоянию равновесия, отличаются от всех статически возможных тем, что они сообщают минимальное значение выражению (см. [17], стр. 19 и [18], стр. 317-322):

В книге Л. С. Лейбензона [17] рассмотрены многочисленные задачи теории упругости, решенные с помощью различных вариантов вариационных методов (см. также [19]).