§ 28. Распределение напряжений в упругом однородном полупространстве под действием усилий, приложенных к ограничивающей плоскости

Из частных задач обобщенной плоской деформации одной из простейших является задача о распределении напряжений в упругом однородном полупространстве под действием усилий, приложенных к ограничивающей плоскости и зависящих только от одной координаты.

Рис. 30.

Рассмотрим упругое равновесие полубесконечного однородного тела, ограниченного плоскостью (упругое полупространство), в состоянии обобщенной плоской деформации под действием усилий, приложенных к ограничивающей плоскости.

Примем эту плоскость за плоскость xz и направим ось у наружу, а прочие оси так, как показано на рис. 30,

Предположим, что: 1) материал обладает прямолинейной анизотропией самого общего вида; 2) усилия действуют в плоскостях, нормальных к оси z и не меняются вдоль этой оси; 3) главный вектор усилий, распределенных по любому участку полосы, параллельной х, конечен и стремится к определенному пределу, когда концы участка уходят на бесконечность.

Область сечения в данном случае есть полуплоскость («нижняя» — ); области изменения функций т. е. также полуплоскости. Если усилия удовлетворяют указанным условиям, то естественно предположить, что на бесконечности напряжения равны нулю, а это будет иметь место, когда .

Н. И. Мусхелишвили получено решение задачи для изотропной упругой полуплоскости, основанное на некоторых свойствах интегралов типа Коши, взятых по прямой [26]. Метод Н. И. Мусхелишвили можно с успехом применить и для решения задачи об упругом равновесии анизотропного полупространства. Напомним две необходимые формулы. Пусть функция комплексного переменного голоморфная в нижней полуплоскости и непрерывная вплоть до границы, причем Тогда, если точка в нижней полуплоскости, точка границы (абсцисса), имеют место следующие равенства:

Обозначим через нормальную и касательную составляющие внешних усилий (на единицу площади). Граничные условия при запишем таким образом:

Предположим, что все три комплексных параметра не равны между собой.

Отсюда получаем условия для функций (см. [20], стр. 116):

Умножим обе части этого равенства на где точка внутри области и проинтегрируем их в пределах Тогда на основании (28.1) получим

Решая эти уравнения, находим

Здесь

— определитель системы (28.4). Относительно этой величины мы всегда будем предполагать, что она не равна нулю. Она обратится в нуль при равных комплексных параметрах, но этот случай, как было указано, мы здесь

не рассматриваем. Может ли обратиться А в нуль при неравных комплексных параметрах — всех трех или двух равных, остается открытым.

При комплексные переменные — основная z и усложненные принимают одно и то же значение (вещественное); следовательно ([20], стр. 117):

Если существуют плоскости упругой симметрии, нормальные к оси х, то из формул (28.7) мы получаем решение плоской задачи (плоская деформация) и для нее формулы (28.7) принимают вид

Вторая основная задача решается аналогично.

Рис. 31.

Метод Н. И. Мусхелишвили дает возможность получить решение и для более сложного случая, когда упругое полупространство ограничено сверху не плоскостью, а вогнутой поверхностью параболического цилиндра (рис. 31):

и находится в состоянии обобщенной плоской деформации

под действием внешних поверхностных сил Предварительно нужно отобразить конформно области на нижнюю полуплоскость. В данном случае можно сделать так, что каждой точке на границе области будут отвечать точки границ областей находящиеся между собой в аффинном соответствии, а всем четырем аффинно-соответственным точкам — одна и только одна точка на границе полуплоскости. Подробнее эта задача рассмотрена в нашей работе [57], а поэтому мы на ней не останавливаемся, а приводим только окончательные формулы для функций

(см. скан)

Здесь

— функции, принимающие при одно и то же значение х.