§ 28. Распределение напряжений в упругом однородном полупространстве под действием усилий, приложенных к ограничивающей плоскости
Из частных задач обобщенной плоской деформации одной из простейших является задача о распределении напряжений в упругом однородном полупространстве под действием усилий, приложенных к ограничивающей плоскости и зависящих только от одной координаты.
Рис. 30.
Рассмотрим упругое равновесие полубесконечного однородного тела, ограниченного плоскостью (упругое полупространство), в состоянии обобщенной плоской деформации под действием усилий, приложенных к ограничивающей плоскости.
Примем эту плоскость за плоскость xz и направим ось у наружу, а прочие оси так, как показано на рис. 30,
Предположим, что: 1) материал обладает прямолинейной анизотропией самого общего вида; 2) усилия действуют в плоскостях, нормальных к оси z и не меняются вдоль этой оси; 3) главный вектор усилий, распределенных по любому участку полосы, параллельной х, конечен и стремится к определенному пределу, когда концы участка уходят на бесконечность.
Область сечения 
в данном случае есть полуплоскость («нижняя» — 
); области изменения функций 
т. е. 
также полуплоскости. Если усилия удовлетворяют указанным условиям, то естественно предположить, что на бесконечности напряжения равны нулю, а это будет иметь место, когда 
.
Н. И. Мусхелишвили получено решение задачи для изотропной упругой полуплоскости, основанное на некоторых свойствах интегралов типа Коши, взятых по прямой [26]. Метод Н. И. Мусхелишвили можно с успехом применить и для решения задачи об упругом равновесии анизотропного полупространства. Напомним две необходимые формулы. Пусть 
функция комплексного переменного 
голоморфная в нижней полуплоскости 
и непрерывная вплоть до границы, причем 
Тогда, если 
точка в нижней полуплоскости, 
точка границы (абсцисса), имеют место следующие равенства:
Обозначим через 
нормальную и касательную составляющие внешних усилий (на единицу площади). Граничные условия при 
запишем таким образом:
Предположим, что все три комплексных параметра 
не равны между собой.
Отсюда получаем условия для функций 
(см. [20], стр. 116):
Умножим обе части этого равенства на 
где 
точка внутри области 
и проинтегрируем их в пределах 
Тогда на основании (28.1) получим
Решая эти уравнения, находим
Здесь
— определитель системы (28.4). Относительно этой величины мы всегда будем предполагать, что она не равна нулю. Она обратится в нуль при равных комплексных параметрах, но этот случай, как было указано, мы здесь
не рассматриваем. Может ли обратиться А в нуль при неравных комплексных параметрах — всех трех или двух равных, остается открытым.
При 
комплексные переменные — основная z и усложненные 
принимают одно и то же значение 
(вещественное); следовательно ([20], стр. 117):
Если существуют плоскости упругой симметрии, нормальные к оси х, то из формул (28.7) мы получаем решение плоской задачи (плоская деформация) и для нее формулы (28.7) принимают вид
Вторая основная задача решается аналогично.
Рис. 31.
Метод Н. И. Мусхелишвили дает возможность получить решение и для более сложного случая, когда упругое полупространство ограничено сверху не плоскостью, а вогнутой поверхностью параболического цилиндра (рис. 31):
и находится в состоянии обобщенной плоской деформации
под действием внешних поверхностных сил 
Предварительно нужно отобразить конформно области 
на нижнюю полуплоскость. В данном случае можно сделать так, что каждой точке на границе области 
будут отвечать точки границ областей 
находящиеся между собой в аффинном соответствии, а всем четырем аффинно-соответственным точкам — одна и только одна точка на границе полуплоскости. Подробнее эта задача рассмотрена в нашей работе [57], а поэтому мы на ней не останавливаемся, а приводим только окончательные формулы для функций 
(см. скан)
Здесь
— функции, принимающие при 
одно и то же значение х.
