Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 23. Распределение напряжений в однородном теле, обладающем цилиндрической анизотропией, зависящее от двух координат
Рассмотрим теперь упругое равновесие однородного тела, обладающего цилиндрической анизотропией общего вида. Предполагается, что тело ограничено какой-нибудь цилиндрической поверхностью и плоскостями торцов или является бесконечным или полубесконечным; с телом связана прямая ось анизотропии, параллельная образующей, проходящая вне его или внутри полости (если таковая имеется), или же проходящая по телу или по его поверхности. Если принять за ось z цилиндрической системы координат и направить ось х, от которой отсчитываются полярные углы 0, параллельно одной из главных осей инерции, то уравнения обобщенного закона Гука запишутся в виде (10.2), где величины постоянные. Обозначим через О центр тяжести торца и рассмотрим вторую систему координат с осью параллельной и осями совпадающими с главными осями инерции. На тело действуют усилия, поверхностные, распределенные по цилиндрической поверхности и нормальные к оси анизотропии, и объемные силы; и те, и другие не
меняются вдоль образующей (т. е. по длине). Кроме того, по торцам распределены усилия, приводящиеся к осевой силе изгибающим моментам с составляющими относительно осей х, у и скручивающему моменту
Обозначим проекции внешних поверхностных усилий через и проекции объемных сил через
Рис. 26.
Будем считать, что объемные силы имеют потенциал т. е.
Нам нужно определить в области тела девять неизвестных функций — шесть составляющих напряжений и три проекции перемещения Для этих функций мы как раз имеем девять независимых уравнений. Основная система, так же как в теле с прямолинейной анизотропией, складывается из трех уравнений равновесия сплошной среды и из шести уравнений обобщенного
закона Гука; выпишем часть этих уравнений:
Общие уравнения данной проблемы выводятся в таком же порядке, как и для тела с прямолинейной анизотропией; меняются только исходные уравнения в соответствии с видом анизотропии и окончательные результаты. Сразу же введем обозначение:
откуда
После подстановки в (23.3) и введения приведенных коэффициентов деформации
переписываем уравнения (23.3) в виде
Интегрируем третье, четвертое и пятое уравнения (23.7) и получаем перемещения, содержащие три новые функции Далее, удовлетворяя уравнениям первому, второму и шестому из (23.7), получаем, как и раньше, как линейную функцию координат х и у:
После элементарных преобразований далее получаем систему трех уравнений для и систему двух уравнений для
(см. скан)
Исключая из уравнений (23.9) и (23.10), получим систему двух уравнений, содержащих только напряжения. Исключение функций из (23.9) произведем, используя тождество:
Исключение из (23.10) производится элементарно, путем простого дифференцирования и вычитания. В результате вместо (23.9) и (23.10) получаются очевидные уравнения для напряжений, которые мы выписывать не будем.
Когда функции будут найдены, то проекции перемещения определятся по формулам
Сюда включены «жесткие» перемещения, обозначаемые штрихами, которые в развернутом виде запишутся так:
Введем две функции напряжений. В цилиндрической системе координат эти функции будут связаны с составляющими напряжений зависимостями:
На основании (23.9) — (23.11) и (23.14) получим систему уравнений, которой удовлетворяют названные две
функции. Эта система запишется таким образом:
(см. скан)
Под подразумеваются дифференциальные операторы четвертого, третьего и второго порядков:
(см. скан)