§ 23. Распределение напряжений в однородном теле, обладающем цилиндрической анизотропией, зависящее от двух координат

Рассмотрим теперь упругое равновесие однородного тела, обладающего цилиндрической анизотропией общего вида. Предполагается, что тело ограничено какой-нибудь цилиндрической поверхностью и плоскостями торцов или является бесконечным или полубесконечным; с телом связана прямая ось анизотропии, параллельная образующей, проходящая вне его или внутри полости (если таковая имеется), или же проходящая по телу или по его поверхности. Если принять за ось z цилиндрической системы координат и направить ось х, от которой отсчитываются полярные углы 0, параллельно одной из главных осей инерции, то уравнения обобщенного закона Гука запишутся в виде (10.2), где величины постоянные. Обозначим через О центр тяжести торца и рассмотрим вторую систему координат с осью параллельной и осями совпадающими с главными осями инерции. На тело действуют усилия, поверхностные, распределенные по цилиндрической поверхности и нормальные к оси анизотропии, и объемные силы; и те, и другие не

меняются вдоль образующей (т. е. по длине). Кроме того, по торцам распределены усилия, приводящиеся к осевой силе изгибающим моментам с составляющими относительно осей х, у и скручивающему моменту

Обозначим проекции внешних поверхностных усилий через и проекции объемных сил через

Рис. 26.

Будем считать, что объемные силы имеют потенциал т. е.

Нам нужно определить в области тела девять неизвестных функций — шесть составляющих напряжений и три проекции перемещения Для этих функций мы как раз имеем девять независимых уравнений. Основная система, так же как в теле с прямолинейной анизотропией, складывается из трех уравнений равновесия сплошной среды и из шести уравнений обобщенного

закона Гука; выпишем часть этих уравнений:

Общие уравнения данной проблемы выводятся в таком же порядке, как и для тела с прямолинейной анизотропией; меняются только исходные уравнения в соответствии с видом анизотропии и окончательные результаты. Сразу же введем обозначение:

откуда

После подстановки в (23.3) и введения приведенных коэффициентов деформации

переписываем уравнения (23.3) в виде

Интегрируем третье, четвертое и пятое уравнения (23.7) и получаем перемещения, содержащие три новые функции Далее, удовлетворяя уравнениям первому, второму и шестому из (23.7), получаем, как и раньше, как линейную функцию координат х и у:

После элементарных преобразований далее получаем систему трех уравнений для и систему двух уравнений для

(см. скан)

Исключая из уравнений (23.9) и (23.10), получим систему двух уравнений, содержащих только напряжения. Исключение функций из (23.9) произведем, используя тождество:

Исключение из (23.10) производится элементарно, путем простого дифференцирования и вычитания. В результате вместо (23.9) и (23.10) получаются очевидные уравнения для напряжений, которые мы выписывать не будем.

Когда функции будут найдены, то проекции перемещения определятся по формулам

Сюда включены «жесткие» перемещения, обозначаемые штрихами, которые в развернутом виде запишутся так:

Введем две функции напряжений. В цилиндрической системе координат эти функции будут связаны с составляющими напряжений зависимостями:

На основании (23.9) — (23.11) и (23.14) получим систему уравнений, которой удовлетворяют названные две

функции. Эта система запишется таким образом:

(см. скан)

Под подразумеваются дифференциальные операторы четвертого, третьего и второго порядков:

(см. скан)

При заданных внешних усилиях условия на цилиндрической поверхности, т. е. на контуре сечения, можяо записать в виде

где направление внешней нормали, проекции усилий, распределенных по боковой поверхности, на направления осей и 0 (на единицу площади). Так же как и в случае тела с прямолинейной анизотропией, условия (23.17) можно преобразовать путем интегрирования по дуге контура сечения и тогда они сведутся к следующему: на контуре задаются производные как функции дуги (или полярного ггла 0, что удобнее в случаях, когда тело ограничено поверхностями коаксиальных цилиндров). Граничное условие для очень просто:

Удовлетворив условиям на боковой поверхности, мы должны еще определить постоянные из условий на торцах. Для тела с конечной областью поперечного сечения на торцах (и в любом поперечном сечении) усилия должны приводиться к силе и к моменту с тремя составляющими После некоторых преобразований получаем уравнения для постоянных в системе координат

Здесь координаты центра тяжести в системе координат х, у, z, у которой ось z совпадает с осью анизотропии, площадь поперечного сечения, моменты инерции относительно главных осей х, у.

Решив какую-нибудь задачу рассматриваемого типа, мы получим функции напряжений, удовлетворяющие системе уравнений (23.15) — (23.16) и условиям на контуре; они будут содержать постоянные которые в одних случаях можно считать заранее известными, а в других нужно определить из уравнений (23.18) — (23.21).