Глава 4. ОБОБЩЕННАЯ ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ И ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ТЕЛА С ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ

В настоящей главе рассматриваются частные случаи упругого равновесия тела с прямолинейной анизотропией, ограниченного цилиндрической поверхностью, на которое действуют поверхностные и объемные усилия, нормальные к образующей и не меняющиеся по длине. Если коэффициенты также не меняются по длине и плоскости поперечных сечений совпадают с плоскостями упругой симметрии, то эти сечения остаются плоскими и после деформации и напряженно-деформированное состояние известно под названием плоской деформации. В более общих случаях анизотропии, когда плоскости упругой симметрии пересекают геометрическую ось под углом не равным 90°, или параллельны ей, или совсем отсутствуют, то деформацию уже нельзя назвать плоской; ее можно назвать «обобщенной плоской деформацией». В главе 4 исследование ведется в декартовой системе координат, т. е. предполагается, что обобщенный закон Гука выражается уравнениями (18.3), где постоянные. Рассмотрен также случай прямолинейно-ортотропного неоднородного тела и ряд частных задач.

§ 25. Обобщенная плоская деформация однородного прямолинейно-анизотропного тела

Рассмотрим однородное тело, обладающее прямолинейной анизотропией общего вида (уравнения (18.3)), ограниченное какой-либо цилиндрической поверхностью.

Пусть тело нагружено усилиями, поверхностными и объемными, действующими в плоскостях поперечных сечений, т. е. нормально к образующей, и не меняющимися по длине. Сначала длину мы будем считать бесконечной, а область поперечного сечения произвольной — конечной или бесконечной, односвязной или многосвязной. Поместим начало координат в произвольной точке какого-нибудь поперечного сечения и направим ось z параллельно образующей, а оси х, у — как удобнее, в зависимости от формы сечения (рис. 27).

Рис. 27.

Представляется очевидным, что в бесконечно длинном теле под влиянием заданной указанным образом нагрузки, все поперечные сечения находятся в одинаковых условиях, а поэтому напряжения и перемещения (если не считать «жестких» смещений) в нем не меняются вдоль образующей, т. е. зависят только от двух координат х и у. В теле изотропном или в анизотропном, у которого в каждой точке существует плоскость упругой симметрии, нормальная к образующей, поперечные сечения остаются плоскими, или, иначе, деформация является плоской. Если же плоскости упругой симметрии имеются, но среди них нет параллельных ху, и тем более в общем случае анизотропии, деформация уже не будет плоской (так как нельзя удовлетворить всем уравнениям и условиям теории упругости, приняв поперечные сечения будут искривляться, но все одинаково. Такого рода деформацию, в отличие от плоской (или чисто-плоской), мы называем «обобщенной плоской».

Рассмотрим сначала обобщенную плоскую деформацию однородного тела.

Так как составляющие напряжения и проекции перемещения не зависят от z [см. (18.19)], то, следовательно, в формулах и уравнениях § 18—19 нужно положить

Перемещения определятся по формулам салу

связаны с напряжениями уравнениями

Напряжение определится по формуле

Далее поступаем так же, как в общем случае, рассмотренном в предыдущей главе 3: вводим функции напряжений

потенциал объемных сил) и получаем уравнения

Здесь операторы, уже использованные в § 19 (формулы (19.3)).

Граничные условия имеют вид (19.7) (первая основная задача) или (19.8) (вторая основная задача).

Остановимся коротко на случае, когда объемные силы отсутствуют. В этом случае выражения для производных и для напряжений и перемещений через комплексные потенциалы и граничные условия для них мы получим из (21.2), (21.3), (21.5) — (21.9), полагая в них

Не будем выписывать все эти выражения и условия, а приведем без доказательства результаты исследований функций которые достаточно подробно выполнены в работе [56].

1. Если область сечения имеет вырез (тело имеет продольную цилиндрическую полость) и на контуре его действуют усилия, приводящиеся к главному вектору с проекциями (на единицу длины в осевом направлении) и к главному моменту, то каждая из функций состоит из непрерывной и однозначной части и из многозначной части, получающей при обходе по контуру у, окружающему отверстие, постоянное (не зависящее от приращение Приращения функций и сопряженных функций (обозначаемые здесь определяются из системы шести уравнений:

2. Если область имеет отверстий (вырезов), т. е. тело имеет продольных параллельных полостей, и на контуре каждого из них усилия приводятся к главному вектору с проекциями главному моменту, то уравнения, определяющие приращения многозначных частей функций будут справедливы для каждого из контуров окружающих одно отверстие.

Иначе говоря, мы получим систем уравнений, подобных (25.9), куда вместо нужно подставить соответственно приращения функций при обходе по контуру вместо Всего мы будем иметь систем, каждая из которых содержит шесть неизвестных (приращений).

3. Если область имеет отверстия (вырезы), но на каждом из них действует уравновешенная система усилий или усилия приводятся только к главному моменту, то все уравнения вида (25.9) будут однородными. Определитель каждой системы не равен нулю, а следовательно, все приращения равны нулю, все три функции будут голоморфными и однозначными (в своих областях То же будет и в случае области без выреза.

Для тела конечной длины деформация, вообще говоря, не будет обобщенной плоской, так как перемещения будут зависеть от третьей переменной z. Для такого тела формулы, выведенные для бесконечного цилиндра, будут справедливы, строго говоря, только тогда, когда на торцах действуют усилия, распределенные так же, как напряжения в поперечных сечениях бесконечного цилиндра. Но на основании принципа Сен-Венана мы можем утверждать, что распределение напряжений, в первом приближении, будет в теле конечной длины таким же, как и в бесконечном, если торцы его закреплены; при этом нужно исключить из рассмотрения зоны местных напряжений вблизи торцов.

Если торцы тела конечной длины свободны от усилий и не закреплены, то на них должны быть выполнены точные условия:

которые мы можем заменить приближенными, потребовав, чтобы главный вектор и главный момент усилий на торцах были равны нулю. Для того чтобы решить эту задачу, но вернуться к уравнениям § 21, не полагая заранее постоянные равными нулю. Определив или удовлетворяющие нужным условиям на боковой поверхности (или на контуре поперечного сечения), мы найдем затем эти постоянныеизуравнений (19.13), (19.14) или (19.18), (19.20), где нужно положить