§ 56. Приближенные методы решения задач о кручении

Известно довольно много приближенных методов решения задач о кручении, которые можно применить в тех случаях, когда отыскание точного решения сопряжено с большими математическими трудностями. Такие трудности могут встретиться, например, в случае, когда контур сечения ограничен какой-либо сложной кривой, отрезками кривых и прямых, или область сечения многосвязна, когда модули меняются по площади сечения (неоднородный стержень) и так далее. В основах этих методов заложены разные принципы, как чисто теоретические, так и экспериментальные. Мы остановимся коротко только на наиболее распространенном методе — энергетическом, имеющем несколько вариантов, и покажем, как с его помощью решаются сравнительно несложные задачи.

Общая идея метода заключается в следующем. Вместо того чтобы решать краевую задачу для дифференциального

уравнения второго порядка, к которой сводится задача о кручении, решают равносильную ей (с математической стороны) вариационную задачу об отыскании минимума интеграла, и притом делают это приближенно. Задаются выражением для функции напряжений при кручении, удовлетворяющей нужным условиям на контуре сечения и внутри и содержащей неизвестные постоянные (коэффициенты) и функции. Затем используют принцип наименьшей работы, о котором говорилось в § И главы 1, разыскивают минимум интеграла и получают уравнения для неизвестных постоянных или дифференциальные уравнения для неизвестных функций. При чистом кручении однородного неортотропного стержня нужно воспользоваться формулой Кастилиано и задача сведется к отысканию функции сообщающей минимальное значение интегралу:

Самый простой способ решения заключается в следующем. Задаются семейством функций двух переменных зависящих от двух целочисленных параметров обращающихся в нуль на контуре односвязной области Функиия ищется в виде суммы

После подстановки в выражение (56.1) и интегрирования по области сечения это выражение становится функцией Далее разыскиваются переменные сообщающие функции минимальное значение. Если задается в виде (56.2), то для получается система уравнений первой степени, неоднородная, которую и нужно решить.

В других случаях за неизвестную функцию удобнее брать не а функцию кручения разумеется, тогда придется искать минимум не интеграла (56.1), а другого, вытекающего из принципа возможных перемещений.

Рассмотрим пример. Область сечения имеет одну ось симметрии; контур ее образован двумя кривыми,

пересекающимися на оси симметрии, где а — постоянный коэффициент и

положительные числа — целые, дробные или нули).

При разных значениях контур, естественно, имеет разную форму; например, при

— это эллипс, при других же значениях области в общем похожи — они имеют каплеобразную форму (рис. 86). Для таких областей решено довольно много задач теории упругости, бенно в работах Лейбензона [17] и [18] и др. авторов Приближенные решения с помощью функции мы будем строить, задавшись семейством функций

и разыскивая в виде сумм (56.2), где коэффициенты должны сообщать интегралу (56.1) минимальное значение.

Рис. 86.

Желая построить решение только в первом приближении, возьмем только первый член суммы (56.2), отбросив остальные, т. е. положим

Подставляя в (56.1) и интегрируя, получим как полином второй степени относительно и далее ищем его минимум. Не приводя выкладок, достаточно элементарных, приведем выражение для жесткости, найденное в первом приближении для произвольных параметров. При произвольных

Здесь

бета-функния и гамма-функция, коэффициент, зависящий от значений бета-функции:

В частности, для значений параметров когда сечение ограничено дугами двух полукубических парабол

получим [19] ,

Если воспользоваться принципом возможных перемещений, то в первом приближении можно взять совсем

простую функцию характеризующую искривление плоскости поперечного сечения стержня в виде эллиптического цилиндра:

Для стержня с сечением, ограниченным двумя дугами полукубических парабол получаем выражение для жесткости при кручении:

Формула (56.12) дает преуменьшенное значение же сткости, ее нижний предел, а (56.14) - преувеличенное значение, верхний предел. Иначе говоря, истинная величина жесткости рассматриваемого стержня (с сечением, ограниченным двумя дугами полукубических парабол) находится между величинами, определяемыми по формулам (56.12) и (56.14). Уточнения этой величины С мы произведем, беря в сумме (56.2) и соответствующей сумме для большее число членов и определяя постоянные из условий минимума соответствующих интегралов. Но мы дальше развивать эту тему не будем, а сошлемся на работы Л. С. Лейбензона [17] и [19] и многочисленную указанную литературу.

Отметим только работы Н. X. Арутюняна [41], [42], посвященные вопросу кручения стержня с сечением, ограниченным двумя подобными (несофокусными) эллипсами и двумя лучами (в частности, эллиптическое разрезанное кольцо, полукольцо и эллиптический сектор). Помимо подробного изложения с использованием одного варианта энергетического метода в работах самого автора, краткое изложение имеется в наших книгах [20] и [22].

Другого рода приближенный метод решения задач о кручении основан на введении в уравнения кручения малого параметра и в пренебрежении степенями этого параметра, начиная с некоторой, в процессе решения. Такой метод или способ предложен В. С. Саркисяном для решения задачи о кручении стержня с сечением, которое представляет собой фигуру, вытянутую в

одном направлении («удлиненный профиль», [29], [88], [90]).

Для получения приближенных решений задач о кручении можно использовать и различные аналогии в теории кручения. Сущность этих аналогий заключается в том, что основное уравнение теории кручения (уравнение для функции напряжений или уравнение для функции кручения совпадает, с точностью до постоянных коэффициентов, с уравнениями для других задач механики и физики, которые легче решить, полностью или частично применяя эксперимент. Наиболее важной остается аналогия Прандтля (мембранная аналогия). Этими замечаниями мы и ограничимся, сославшись на книгу по кручению

Н. X. Арутюняна и Б. Л. Абрамяна [4], где вопрос об аналогиях разобран достаточно подробно и где дана литература.

Других приближенных методов, например, метод сеток, метод конечных элементов и т. д. мы за недостатком места разбирать не будем и сказанным выше по этому вопросу ограничимся.