§ 57. Кручение непрерывно-неоднородного стержня с прямолинейной анизотропией

Из общих уравнений, изложенных в главе 3, легко получить, как частный случай, уравнения кручения непре рывно-неоднородных стержней.

Пусть дан стержень постоянного сечения, непрерывно-неоднородный, имеющий в каждой точке плоскость упругой симметрии, нормальную к образующей, но вообще неортотропный. Один конец предполагается закрепленным, на другом конце (торце) действуют усилия, приводящиеся к скручивающему моменту Боковая поверхность свободна от внешних усилий и не закреплена; на закрепленном торце усилия, следовательно, приведутся к тому же самому, но противоположно направленному моменту (рис. 80). Объемные силы считаем отсутствующими.

Поместим начало координат в точке одного из торцов, направив ось z параллельно образующей, а оси х и у так, как это представляется удобным, учитывая форму сечения. Уравнения обобщенного закона Гука запишутся

в заданной координатной системе х, у, z в виде

причем предполагаются непрерывными дифференцируемыми функциями двух координат х, у.

В случае однородного стержня, имеющего одну плоскость упругой симметрии, нормальную к образующей, и скручиваемого моментами, из шести составляющих напряжений только две не равны нулю, остальные же отсутствуют:

Предположим, что и в стержне с рассматриваемой неоднородностью качественная картина распределения напряжений не отличается от картины в случае однородного тела (57.2), т. е. из шести напряжений только два не равны нулю, в любой точке, — а удовлетворяют уравнению

Для разнообразия мы выведем уравнения кручения такого стержня не из общих уравнений главы 3, а независимо.

Основная система уравнений равновесия упругого тела в данном случае состоит из уравнения (57.3) и уравнений (57.1), которые примут вид:

Проинтегрировав эти уравнения в неоднократно использованном порядке, мы получим выражения для перемещений:

где О — относительный угол закручивания, так называемая функция кручения, характеризующая искривление сечений и «жесткие» смещения (см. (18.8)). Неизвестными функциями у нас будут две составляющие напряжений и функция кручения Эти функции удовлетворяют уравнению (57.3) и уравнениям

Разница между этими двумя уравнениями и уравнениями для однородного тела с такой же упругой симметрией заключается лишь в том, что в функции тогда как у однородного тела они постоянны. Приняв за основную неизвестную — функцию напряжений связанную с составляющими напряжений очевидными равенствами

получим из уравнения (57.6) путем исключения уравнение для

Граничное условие запишется очень просто: на контуре поперечного сечения (или , если область сечения односвязна).

Можно принять за основную неизвестную функцию и выразив напряжения через ее производные, воспользоваться уравнением (57.3). Тогда мы получим уравнение для второго порядка, с переменными коэффициентами. Граничное условие запишется сложнее, а поэтому мы этим способом решения задач о кручении пользоваться не будем и уравнение и условие приводить также не будем.