§ 61. Кручение неоднородного полого кругового цилиндра, обладающего цилиндрической анизотропией

Рассмотрим тело в виде полого кругового цилиндра, обладающего цилиндрической анизотропией и закручиваемого моментами, приложенными к торцам (см. работу [22], гл. 3, § 24). Предполагается, что данное тело ограничено поверхностями соосных круговых цилиндров с радиусами и длиной Один торец можно считать закрепленным неподвижно, а другой находящимся под действием усилий, приводящихся к скручивающему моменту Анизотропия цилиндра считается цилиндрической, причем ось анизотропии совпадает с геометрической осью и принимается за ось начало О помещается на незакрепленном торце. Анизотропию мы не будем полагать самой общей, а наложим на нее следующие ограничения: 1) упругие свойства таковы, что относительные удлинения во, не зависят от напряжения а следовательно, в уравнениях обобщенного закона Гука (10.2) коэффициенты равны нулю; 2) коэффициенты зависят только от расстояния от центра поперечного сечения и не зависят от z и от угла который отсчитывается от оси х, направленной по произвольному фиксированному радиусу сечения (рис. 89); 3) остальные коэффициенты могут быть произвольными функциями трех координат и на распределение напряжений не оказывают влияния.

Рис. 89.

Если цилиндр удовлетворяет всем этим условиям, то нет надобности использовать общие уравнения типа приведенных в главе 3, а проще общие уравнения для напряжений и перемещений вывести независимо, приняв за основу только самые общие уравнения равновесия произвольного упругого тела. Всем этим уравнениям можно

удовлетворить, предположив, что из шести составляющих напряжений только одна не равна нулю, а из трех проекций перемещения не равны нулю только две:

Напряжение зависит только от (если распределение усилий по торцу не дается, а задается только скручивающий момент , а уравнения обобщенного закона Гука принимают вид

Интегрируя эти элементарные уравнения, получим

Здесь как и раньше, относительный угол закручивания. Из постоянных, характеризующих жесткие перемещения, сохранены только две: поступательное перемещение в осевом направлении и поворот в плоскости поперечного сечения эти постоянные мы определим из уравнений на закрепленном торце, полагая там неподвижной окружность заданного радиуса

Жесткость определим по формуле:

а отсюда на основании (61.3)

Следовательно,

Полный угол закручивания равен

Формулы для перемещений (61.4) показывают, что: 1) поперечные сечения будут искривляться, если не равен нулю, и останутся плоскими, если проекции радиусов на плоскость поперечного сечения будут искривляться, если они останутся прямолинейными, если Если стержень является ортотропным, то поперечные сечения останутся плоскими и радиусы при кручении останутся прямолинейными (не будут искривляться).

Так как на напряжение оказывает влияние только коэффициент деформации или модуль сдвига то это означает, что в неоднородном изотропном стержне с модулем сдвига напряжения получаются точно такими же, как и в неоднородном криволинейноанизотропном, у которого Частный случай исследуемой задачи был рассмотрен еще В. Фойгтом в работе [128], более общий — в нашей книге [20] (гл. 4, § 44).

Рассмотрим частный случай, когда модуль сдвига или меняется по радиусу по степенному закону — пропорционален какой-то степени расстояния от центра, т. е.

где какое-либо вещественное число. Во всех этих случаях мы получим

где

Если модуль сдвига меняется вдоль радиуса пропорционально степени расстояния от центра то напряжение меняется также пропорционально степени но на единицу большей. При положительных, а также отрицательных, но больших, наибольшее напряжение получается вблизи наружной поверхности:

При отрицательных же меньших минус единицы, наибольшее напряжение получается на внутренней поверхности, т. е. на поверхности полости, а если полости нет, то напряжения стремятся по мере приближения к оси неограниченно возрастать (около оси как бы происходит концентрация напряжений). В цилиндре из однородного материала и

где момент инерции относительно центра сечения цилиндра (полярный).

Необходимо отметить особый случай: При таком жесткость и напряжение принимают неопределенный вид Раскрывая неопределенности по правилу Лопиталя, вместо (61.11) и (61.12) получим:

О характере изменения напряжения по диаметру при положительных и отрицательных дают представление рис. 90 и 91; пунктирные прямые — графики изменения напряжений по диаметру в однородном стержне тех же размеров.

Задача усложняется, если коэффициент (или модуль сдвига задается как функция двух координат т. е. меняется не только по радиусу, но и по длине.

Можно отметить частные случаи, когда и эта задача решается элементарным путем. Укажем один из них (см. [22]).

Рис. 90.

Рис. 91.

Пусть цилиндр является ортотропным и коэффициент деформации его равен произведению функции только на функцию только

остальные восемь коэффициентов — произвольные функции координат. В этом случае перемещения равны

а жесткость и напряжение определяются по формулам (61.6) и (61.8), куда вместо нужно подставить .

Рис. 92.

Представляет интерес задача о кручении неоднородного цилиндрического стержня, составленного из определенного числа полых цилиндров (трубок), соединенных жестко по поверхностям контакта путем склейки или спайки (рис. 92). Мы остановимся на случае, когда каждый слой является цилиндрически-анизотропным и однородным и в каждой точке имеется плоскость упругой симметрии, нормальная к геометрической оси (она же является плоскостью упругой симметрии не только для всего стержня, но и для всех слоев); при этом слои соединены

без предварительного натяжения, т. е. начальные напряжения отсутствуют. Обозначим через расстояния от центра до поверхности контакта слоев с номерами причем (внутренний и внешний радиусы).

Вводя обозначения и

и удовлетворяя очевидным условиям на внутренней и наружной поверхностях и на поверхностях контакта, получим после элементарных преобразований следующие окончательные формулы (верхние индексы всюду — номера слоев):

( жесткость слоя номер ).

Анизотропия и в этих случаях не влияет на жесткость и напряжения; они получаются такими же, как и у изотропного многослойного стержня с модулями сдвига При переходе от слоя к слою напряжение вдоль радиуса меняется скачкообразно, как это показано на рис. 92, где взят трехслойный стержень, у которого