§ 5. Преобразование упругих постоянных при переходе к новой системе координат

Решая конкретную задачу теории упругости, нам приходится использовать уравнения обобщенного закона Гука, в которые входят упругие постоянные или Эти величины в случае анизотропного тела зависят от направлений осей координатной системы, и если направления осей изменить, то изменятся и, значения упругих постоянных. Исключение составляет изотропное тело, у которого уравнения обобщенного закона Гука сохраняют свой вид в любой ортогональной системе координат, а соответствующие упругие постоянные остаются неизменными (инвариантными). При изучении напряженного состояния часто может возникнуть вопрос: известны постоянные для координатной системы х, у, z, но удобнее пользоваться другой ортогональной системой х, у, z (рис. 3). Требуется найти постоянные для второй системы. Прежде всего нужно задать таблицу косинусов углов между новыми и старыми направлениями осей координат (см. таблицу 1).

Рис. 3.

Применим следующий метод. Рассмотрим выражения упругого потенциала в первой системе («старой») и во второй («новой») и приравняем их. Получим равенство, в левую часть которого входят составляющие напряжений или деформации, отнесенные к системе а в правую — те же величины для системы Затем выразим составляющие напряжений или деформаций, отнесенные к старой системе координат, через составляющие напряжений или, соответственно, деформаций, для новой системы.

Сравнивая коэффициенты при квадратах и произведениях составляющих напряжений или деформаций, отнесенных к новой системе, в левой и правой частях равенства, мы получим искомые формулы для новых упругих постоянных — выражения через или через

Пусть коэффициенты деформации в уравнениях обобщенного закона Гука для системы х, у, z и требуется определить для ортогональной системы координат х, В общем случае, когда элементы упругой симметрии

отсутствуют, уравнения обобщенного закона Гука, отнесенные к старой системе, будут иметь вид (3.8), а упругий потенциал определится по формуле (3.13). Для системы координат имеем уравнения и выражение:

Приравнивая два выражения для получим равенство

Подставим в левую часть вместо их выражения через (формулы (2.3) записываем сокращенно); получим

Приравнивая коэффициенты при квадратах и произведениях напряжений со штрихами, получим искомые формулы преобразования. В равенства войдут как линейные функции и однородные функции четвертой степени относительно косинусов Записанные в развернутом виде

формулы получаются довольно громоздкими, но можно записать их очень просто, введя условные и сокращенные обозначения заданные таблицей 3.

Таблица 3 (см. скан) Символы к формулам преобразования коэффициентов

В символах первый индекс указывает номер строки таблицы 3, а второй — номер столбца. Например,

С помощью этих выражений, зависящих от все формулы преобразования можно записать в виде одной:

или, отбрасывая знаки сумм, получим

суммирование производится по индексам тип). Также легко записать и формулы преобразования модулей упругости к новым осям, которые мы получим, используя выражение V как функцию Приводим без вывода эти формулы; они все получаются из одной:

Здесь символы берутся из таблицы, которая отличается от таблицы 3 только тем, что в клетках на пересечении строк 1, 2, 3 и столбцов 4, 5, 6 перед произведениями косинусов стоят коэффициенты 2, тогда как на пересечении строк 4, 5, 6 со столбцами 1,2,3 стоят произведения косинусов без коэффициента 2 (см. [25], стр. 82 и 83).

Формулы (5.6), (5.7) и таблица 3 дают возможность определить модуль Юнга для любого направления если известны упругие постоянные данной фиксированной системы координат х, у, z. Приводим в развернутом виде выражение для постоянной обратной модулю

Здесь

Формулы преобразования коэффициентов деформации можно записать и иначе, если обозначать эти коэффициенты буквой а не с двумя, а с четырьмя индексами и использовать сокращенную запись уравнений обобщенного закона Гука. Приводим без вывода эти формулы, которые все содержатся в одной, взятые из книги, неоднократно упоминавшейся стр. 71):

Суммирование при данных производится по индексам принимающим значения 1, 2, 3. По

формуле (5.9) преобразуются к новым осям компоненты тензора четвертого ранга; следовательно, константы образуют тензор четвертого ранга (или, что то же, являются его компонентами). Разумеется, формулы преобразования (5.9) не противоречат ранее приведенным формулам преобразования а находятся с последними в полном соответствии.

В связи с преобразованием коэффициентов деформации к новым осям обнаруживается ряд инвариантных зависимостей между Этот вопрос освещен в работе Е. К. Ашкенази и Э. В. Ганова [6].