§ 10. Криволинейная анизотропия

У однородного тела с прямолинейной анизотропией все параллельные направления эквивалентны в отношении упругих свойств, а все элементы в виде одинаковых прямоугольных параллелепипедов с соответственно параллельными гранями обладают одинаковыми упругими свойствами. Но у однородных тел, кроме прямолинейной, возможна анизотропия другого рода — криволинейная. Криволинейная анизотропия однородного тела характеризуется тем, что для разных его точек эквивалентными являются направления не параллельные, а подчиненные каким-то другим закономерностям. Если выбрать систему криволинейных ортогональных координат так, чтобы координатные направления ее в каждой точке совпадали с эквивалентными направлениями (в отношении упругих свойств), то бесконечно малые элементы, выделенные тремя парами координатных поверхностей, будут обладать одинаковыми упругими свойствами. Наоборот, элементы, образованные тремя парами ортогональных плоскостей, будут иметь, вообще говоря, различные упругие свойства.

Пусть тело является однородным криволинейно-анизотропным и следует обобщенному закону Гука, т. е. составляющие деформации являются линейными функциями составляющих напряжения, и наоборот. Обозначим через координатные направления упомянутой криволинейной системы координат. Тогда, предполагая, что существует упругий потенциал, можем записать уравнения обобщенного закона Гука для однородного

криволинейно-анизотропного тела так:

Уравнения в общем случае содержат 21 упругую постоянную, но из них независимых, инвариантных, будет, как и для прямолинейно-анизотропного тела, только 18 констант. Можно, конечно, записать и в этом случае уравнения обобщенного закона Гука в ортогональной декартовой системе координат, но тогда в уравнениях обобщенного закона Гука коэффициенты уже не будут постоянными и будут меняться от точки к точке в связи с изменением координатных направлений.

Уравнения (10.1) упростятся, если тело обладает упругой симметрией и эти упрощения будут такими же, как и в случае прямолинейной анизотропии. Так, можно говорить о криволинейно-ортотропном теле, о теле, трансверсально-изотропном относительно какого-нибудь из направлений д. С другой стороны, понятие криволинейной анизотропии можно обобщить и рассматривать криволинейно-анизотропные неоднородные тела, у которых коэффициенты из уравнений (10.1) будут зависеть от координат точки.

Из различных видов криволинейной анизотропии наибольший практический интерес представляют два вида, рассмотренные еще Сен-Венаном: 1) цилиндрическая анизотропия и 2) сферическая анизотропия (см. работу Сен-Венана [124]).

1. Цилиндрическая анизотропия. Пусть с телом неподвижно связана некоторая прямая -ось анизотропии, которая может проходить как внутри тела, так и вне его (например, в полости) или по поверхности. Все направления, параллельные проходящие через разные точки, между собой эквивалентны; все направления, пересекающие под прямым углом (радиальные), также эквивалентны и все направления, ортогональные к первым двум (тангенциальные), эквивалентны. Эквивалентными или

идентичными будут бесконечно малые элементы, ограниченные тремя парами поверхностей: двумя плоскостями, нормальными к двумя плоскостями, проходящими через и двумя поверхностями цилиндров с общей осью у. Приняв ось анизотропии за ось z цилиндрической системы координат и направляя ось х, от которой отсчитываются углы 0, произвольно, запишем в общем случае цилиндрической анизотропии уравнения обобщенного закона Гука так:

Если тело неоднородное, коэффициенты будут функциями цилиндрических координат.

Здесь необходимо сделать очень важное замечание. Если ось анизотропии проходит вне тела (например, внутри полости), то уравнения (10.2) сомнений не вызывают. Но если ось анизотропии проходит по телу, то между разными в однородном теле непременно должны быть зависимости. В самом деле, на оси z, совпадающей с нет никакой разницы между направлениями и 0 и все радиальные направления должны быть эквивалентными не только между собой, но и между всеми тангенциальными 0. Поэтому уравнения (10.2) мы можем записать иначе. Переставляя сами уравнения, запишем систему (10.2) таким образом:

Сопоставляя системы, получим очевидные равенства:

а всего восемь зависимостей. Если в каждой точке имеется одна плоскость упругой симметрии, перпендикулярная к оси z (или g), то

У ортотропного тела с плоскостями симметрии, проходящими через ось анизотропии, радиальной и тангенциальной, в дополнение к указанным зависимостям имеем

а неравные нулю коэффициенты связаны тремя равенствами

Все эти равенства (10.4) — (10.8) имеют место и в неоднородном теле. В неоднородном теле равенства (10.4), (10.6), (10.8) могут быть выполнены за счет того, что соответствующие являются функциями (а также, может быть, и других переменных — и на самой оси становятся равными нулю или бесконечности. В однородном же теле, у которого ось анизотропии пересекает тело, постоянны и анизотропия общего вида невозможна, так как всегда должны выполняться равенства (10.4), (10.6) или (10.8). На это обратил внимание еще Фойгт в работе [128].

В случае ортотропного тела с цилиндрической анизотропией иногда бывает удобнее иметь дело с техническими константами или упругими характеристиками — модулями Юнга и сдвига и коэффициентами Пуассона. Введя эти обозначения (с буквенными индексами), запишем уравнения (10.2) таким образом:

Если структура тела такова, что его пересекает ось анизотропии, не находящаяся внутри сквозной полости, то тогда непременно должно быть

Можно уравнения (10.9) записать и иначе, введя коэффициенты деформации с числовыми индексами В уравнениях (10.9)

Примером тела, обладающего цилиндрической анизотропией, может служить деревянный брусок с правильными цилиндрическими годичными слоями. В случае, показанном на рис. 14, уже нельзя пренебречь кривизной годичных слоев и его можно рассматривать как однородное тело с цилиндрической анизотропией (в первом приближении, конечно). Ось анизотропии совпадает с осью сердцевины. Если бы эта ось, находясь внутри бруска, была идеальной прямой, то можно было бы записать уравнения обобщенного закона Гука в виде (10.9) с соблюдением условий (10.10), но на самом деле сердцевина отличается от остальных частей бруска еще тем, что часто она является линией, где сходятся радиальные трещины и, следовательно, нарушается сплошность. Вопрос оказывается сложнее, чем кажется с первого взгляда, и древесину с сердцевиной в пределах образца рассматривать как цилиндрически-анизотропное тело можно только в первом приближении и даже условно.

Рис. 14.

Цилиндрическая анизотропия может появиться в металлических изделиях в результате соответствующих технологических процессов (например, при изготовлении труб, протяжке проволоки и др.). Моделью тела, обладающего в первом приближении цилиндрической анизотропией, может служить свод, построенный из достаточно большого числа однородных элементов («кирпичиков»), без зазоров. Каждый элемент обладает прямолинейной

анизотропией, но главные оси упругости элементов образуют углы, так что свод в целом будет вести себя как цилиндрически-анизотропное тело (рис. 15).

Рис. 15.

2. Сферическая анизотропия. Криволинейная анизотропия этого вида характеризуется следующим. С однородным телом неподвижно связана точка О (центр анизотропии) и прямая (ось анизотропии), проходящая через центр. Направления всех лучей, исходящих из центра, между собой эквивалентны; кроме того, направления касательных к меридианам всех сферических поверхностей с общим центром О, проходящих через точки пересечения поверхностей с между собой эквивалентны, и направления, касательные к параллелям всех сферических поверхностей, тоже между собой эквивалентны (рис. 16).

Рис. 16.

Принимая эквивалентные направления за координатные направления сферической системы мы будем иметь для такого тела уравнения обобщенного закона Гука (10.1), где нужно положить Если центр анизотропии О лежит вне тела или в полости тела, то нет никаких осцований ожидать, что между

существуют какие-либо зависимости вроде (10.4). Но если центр анизотропии совпадает с точкой, принадлежащей телу, то очевидно, нет никакой разницы между направлениями все три направления должны быть эквивалентными. Записывая уравнения обобщенного закона Гука и учитывая эквивалентность всех направлений мы получим ряд зависимостей между которых приводить не будем; они нам в дальнейшем не понадобятся.

Можно еще сказать, что у неоднородного криволинейно-анизотропного тела могут быть элементы упругой симметрии в зависимости от его структуры. Важнейшим является случай, когда через каждую точку проходят три взаимно перпендикулярные плоскости упругой симметрии (ортотропное тело). Для тела с цилиндрической анизотропией наиболее важным является такой случай ортотро-пии, когда одна из плоскостей упругой симметрии нормальна к оси анизотропии, другая проходит через эту ось и третья нормальна к первым двум.

Если для криволинейно-анизотропного тела упругие характеристики или являются функциями координат, то его уместно назвать криволинейно-анизотропным и неоднородным. Обобщенный закон Гука для такого тела при соответствующем выборе координатных направлений запишется так же, как для соответствующего тела с прямолинейной анизотропией, но только характеристики будут функциями координат.