§ 7. Преобразование комплексных параметров при повороте координатной системы

Все рассмотренные в книге задачи для однородного тела в декартовых координатах, за исключением простейших, сводятся к отысканию неизвестных функций удовлетворяющих дифференциальным уравнениям второго, четвертого или шестого порядков вида

Здесь или заданные постоянные, зависящие от упругих констант, а заданная (обычно непрерывная) функция координат х, у.

С уравнением (7.1) связано алгебраическое (характеристическое) уравнение степени

Корни этого уравнения, как будет показано в главе 3, для всякого идеально-упругого тела — числа комплексные или чисто мнимые; они называются комплексными параметрами анизотропного материала. При решении разных задач часто приходится переходить от одной системы координат х, у, z, где ось, нормальная к плоскости упругой симметрии, к другой системе повернутой на угол относительно общей оси

При этом комплексные параметры меняются. Требуется найти формулы перехода для комплексных параметров при повороте осей.

Для решения этой задачи разобьем левую часть уравнения (7.1) на линейных дифференциальных операторов первого порядка, т. е. представим его в виде

где

Перейдя от системы х, у, z к новой, получим

Подставляя эти выражения в (7.3), мы получим

где

заданная функция Сопоставляя (7.8) и (7.4), находим формулы комплексных параметров для новой системы координат:

Рассматривая формулы преобразования (7.9), можно подметить следующее:

1) если параметры являются комплексными для одной системы координат, то они остаются комплексными или чисто мнимыми и для любой другой системы, повернутой на угол вокруг общей оси наоборот, если бы для какого-нибудь материала или системы координат получились вещественными, то они останутся вещественными и в любой (декартовой, повернутой) системе координат;

2) если среди комплексных параметров есть равные то соответствующие комплексные параметры также будут равными;

3) если один из комплексных параметров для какой-нибудь системы координат равен или — то и для всякой другой системы, повернутой по отношению к первой, соответствующий параметр будет равен или, соответственно, — (случай изотропного тела).