§ 47. Растяжение сплошного цилиндра с модулем, меняющимся только по длине, осевой силой

Рассмотрим пример [72]. Пусть имеется круговой изотропный неоднородный цилиндр, сплошной, без полости, у которого коэффициент Пуассона — величина постоянная, а модуль Юнга меняется по длине. По одному торцу, плоскость которого принимается за плоскость ху или (рис. 76), распределены усилия; закон распределения не задается, а задается лишь осевая сила к которой они приводятся. Другой торец, как-то закреплен. Боковая поверхность не нагружена и объемные силы отсутствуют.

Рис. 76.

В данном случае в выражениях для напряжении (46.17) нужно отбросить все слагаемые, неограниченно возрастающие по мере приближения к геометрической оси z, а для этого одну из трех постоянных нужно приравнять

нулю. Оставшиеся две постоянные определятся из условий:

Остановимся на случае, когда модуль Юнга меняется по длине по экспоненциальному закону:

Приведем окончательные результаты. Выражения для напряжений можно записать так:

где

В однородном стержне

Рис. 77.

Подсчеты показывают, что при напряжения в точках радиуса по абсолютной величине значительно меньше Например, при в центре а вблизи цилиндрической поверхности

На рис. 77 показаны графики изменения коэффициентов напряжений по радиусу стержня, у которого коэффициент Пуассона равен а

Пунктиром показана прямая, соответствующая такому же однородному стержню Как видно из рис. 77, при данных напряжение распределено по сечению весьма неравномерно и сопровождается напряжениями сжимающими на всем сечении и на большей его части.