§ 2. Преобразование составляющих напряжений к новым осям

На практике часто могут встретиться случаи, когда известны составляющие напряжений, отнесенные к одной системе координат х, у, z («старой»), а требуется определить их для другой системы («новой»). Предполагается, что обе системы ортогональны, но необязательно декартовы.

Сохраняя для составляющих напряжений, отнесенных к системе х, у, z, прежние обозначения и отмечая составляющие в новой системе штрихом, мы получим искомые формулы преобразования, используя выражения для

проекций напряжений на площадке с произвольно направленной нормалью (1.1). Зададим косинусы углов между осями старой и новой систем координат в виде таблицы 1.

Так, например, и т. д.

Таблица 1 (см. скан) Косинусы

Рассмотрим площадку с нормалью х и [напряжения на ней с проекциями на старые оси. Проектируя напряжения на направления осей новой системы, получим

Подставляя сюда выражения (1.1), где получим три составляющие напряжения в виде однородных квадратичных функций косинусов Затем рассматриваем напряжения на площадках с нормалями

Приводим две окончательные формулы:

Остальные четыре составляющие найдем путем круговой перестановки индексов у

Аналогичным путем получим формулы обратного перехода — от напряжений к напряжениям а и Приводим две из них:

Формулы преобразования напряжений к новым осям можно записать очень просто, если воспользоваться сокращенными тензорными обозначениями [25], но для этого придется изменить, как было указано выше, и сами обозначения для составляющих напряжения. Будем обозначать (временно) все составляющие напряжения одной буквой а с двумя индексами — одинаковыми для нормальных составляющих различными для касательных Таким образом, Тогда все шестьформул преобразования составляющих напряжения к новым осям запишутся в виде одной:

В такой системе обозначений обычно знаки суммирования отбрасывают и вместо (2.4) пишут:

В этой формуле к, I — фиксированные, индексы, по которым производится суммирование от 1 до 3.

Таблица 2 (см. скан) Косинусы

Аналогично запишутся формулы перехода] от к

Здесь фиксированными являются индексы а суммирование производится по к и

Приведем формулы перехода от напряжений в декартовой системе координат к напряжениям в цилиндрической системе (оси z обеих систем совпадают). Таблица 1 для косинусов принимает вид таблицы 2. Окончательные формулы запишутся следующим образом:

Такой же вид имеют формулы преобразования поворота, т. е. перехода от напряжений к напряжениям отнесенным к системе координат х, у, z , полученной путем поворота первой системы на угол вокруг оси

Преобразование составляющих деформации к новым осям производится по формулам, весьма схожим с (2.5) — (2.7), так как эти составляющие образуют тензор, аналогичный тензору напряжений. Сопоставляя эти два тензора, мы видим, что нормальному напряжению о соответствует относительное удлинение 8, а касательному напряжению половина одноименного сдвига 7. Следовательно, формулы для составляющих деформации, отнесенных к новым осям, мы получим из (2.3), подставляя в них вместо а и вместо