§ 68. Изгиб неоднородной ортотропной консоли

Если консоль является непрерывно-неоднородной, но неортотропной, то распределение напряжений в ней будет сложнее, чем в однородной: из составляющих напряжений все шесть не равны нулю и уравнения, определяющие их, будут значительно сложнее. Мы рассмотрим консоль с анизотропией и неоднородностью частного вида: она ортотропна, причем из трех плоскостей упругой симметрии, проходящих через каждую точку, одна параллельна плоскости поперечного сечения, а две другие параллельны оси консоли или, что то же, ее образующей; одноименные плоскости упругой симметрии между собой

параллельны, т. е. тело является прямолинейно-анизотропным (см. [74]).

Примем центр тяжести 0 незакрепленного сечения за начало координат и направим ось z параллельно образующей, а оси х и у нормально к плоскостям упругой симметрии (рис. 94). Область поперечного сечения полагаем конечной — односвязной или многосвязной, но при этом считаем, что оси х и у вообще не совпадают с главными осями инерции, а сила приложена в точке 0 и направлена произвольно в плоскости ху; составляющие ее в направлении осей х и у обозначаем через Объемные силы отсутствуют. В данном случае удобнее использовать наряду с приведенными еще и технические упругие характеристики — модули Юнга и сдвига и коэффициенты Пуассона — Все эти величины мы будем считать функциями двух переменных непрерывными, однозначными и дифференцируемыми.

Очевидно, что

Всем уравнениям теории упругости, граничным условиям и условиям равновесия можно удовлетворить, полагая, что — функции только а прочие составляющие пропорциональны z:

Введем обозначение

Отсюда

Основная система равновесия рассматриваемого тела

запишется так:

Дальнейший ход решения такой же, как и в случае однородной консоли. Не останавливаясь на промежуточных выкладках, приведем окончательные формулы и уравнения.

2. Напряжения выражаются через две функции напряжений

где частное решение третьего уравнения (68.5).

3. Первая функция напряжений удовлетворяет линейному неоднородному уравнению четвертого порядка с переменными коэффициентами:

и граничным условиям на контуре поперечного сечения:

В случае конечной односвязной области

4. Вторая функция напряжений удовлетворяет уравнению

Здесь слагаемые выражения

зависящие только от у и только от х.

Граничное условие для имеет вид

дуга контура и с — постоянная, которую можно зафиксировать произвольно на одном из контуров, ограничивающих сечение).

5. Кроме условий на боковой поверхности, должны быть выполнены условия равновесия в каждом поперечном сечении, имеющие такой вид:

Можно показать, что этих уравнений как раз достаточно для определения четырех неизвестных постоянных

В частном случае, когда зависит только от только от у, задача очень упрощается, так как тогда

Для остальных напряжений остаются верными формулы (68.8), где по-прежнему частное решение уравнения (68.5), в котором

Функция напряжений удовлетворяет уравнению:

Нормальное напряжение по-прежнему пропорционально расстоянию от незакрепленного торца, но является вообще нелинейной функцией координат х и у, в зависимости от того, как задан модуль Задача упрощается также и в том случае, когда главные оси инерции сечения х и у нормальны к плоскостям упругой симметрии и сила направлена по одной из этих осей.