Глава 3. УПРУГОЕ РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА, ОГРАНИЧЕННОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ, В КОТОРОМ НАПРЯЖЕНИЯ НЕ МЕНЯЮТСЯ ВДОЛЬ ОБРАЗУЮЩЕЙ

В главе 3 рассматривается названная общая задача для однородного тела, обладающего анизотропией общего вида, прямолинейной или цилиндрической [уравнения (3.8) или (10.2), где величины постоянные]. В последующих главах 4—6 рассматриваются задачи, являющиеся частными случаями общей задачи об обобщенной плоской деформации, плоской деформации, обобщенном плоском напряженном состоянии, и родственные им задачи об обобщенном и чистом кручении цилиндрических и призматических тел.

§ 18. Распределение напряжений в однородном теле с прямолинейной анизотропией, зависящее только от двух координат

Поставим задачу следующим образом. Рассматривается упругое равновесие однородного тела, ограниченного цилиндрической поверхностью (или плоскостями), обладающего анизотропией самого общего вида, под действием усилий, распределенных по поверхности, и объемных сил. Область поперечного сечения может быть конечной или бесконечной, односвязной или многосвязной; длина тела может быть конечной или бесконечной. Предполагаем, что усилия, распределенные по боковой поверхности, и объемные силы действуют в плоскостях, нормальных к образующей и не меняются по длине. Кроме того, на торцах

цилиндра конечной длины или полубесконечного действуют усилия, приводящиеся к изгибающим моментам, скручивающим моментам и осевым (продольным) силам; начальные напряжения отсутствуют.

Отнесем тело к декартовой системе координат х, у, z, у которой ось z параллельна образующей, а плоскость ху, следовательно, совпадает с плоскостью какого-нибудь поперечного сечения (например, торцевого); оси х, у направлены так, как это представляется наиболее удобным, учитывая форму сечения.

Если область сечения конечная, то удобно поместить начало координат в центре тяжести и направить оси х, у по главным осям инерции сечения.

Будем считать, что тело следует обобщенному закону Гука, уравнения которого имеют вид (3.8), причем все коэффициенты деформации авообще говоря, не равны нулю. Деформации малы.

Проекции усилий, распределенных по боковой поверхности (на единицу площади) обозначаем через где нормаль к боковой поверхности. Проекции объемных сил (на единицу объема) обозначаем через причем считаем, что они имеют потенциал т. е.

Рис. 24.

Последнее ограничение не является существенным, но упрощает выкладки. Силу и моменты, к которым приводятся усилия, действующие на торцах, обозначаем через (осевая сила, изгибающие моменты, скручивающий момент; рис. 24).

Представляется очевидным, что составляющие напряжений в данном теле, нагруженном указанным образом,

являются функциями только двух координат х, у. Поставим своей задачей вывести общие уравнения, определяющие напряженное и деформированное состояния, и условия на боковой поверхности и на торцах. Впервые эта задача для однородного тела была поставлена Сомильяна в работе [125]. Дальнейшее развитие она получила в нашей книге [20], откуда мы и берем (с небольшими изменениями) §§ 17—21 (стр. 87—105 книги); см. также работу [56].

Основная система уравнений равновесия для данного упругого тела будет иметь следующий вид:

Введем обозначение:

Отсюда

Уравнения (18.3) перепишутся так:

Из этих уравнений определим перемещения путем интегрирования, причем здесь и в дальнейшем будем придерживаться определенного порядка: вначале проинтегрируем уравнения третье, четвертое и пятое, а затем потребуем, чтобы найденные перемещения, содержащие неопределенные функции интегрирования , удовлетворяли остальным уравнениям (18.6) - первому, второму и удовлетворяли остальным уравнениям (18.6) — первому, второму и шестому. Интегрируя третье, четвертое и пятое уравнения, находим:

Введем в рассмотрение «жесткие» перемещения — линейные функции координат, выражающие перемещения тела как целого, без деформации:

где произвольные постоянные — компоненты поворота тела вокруг трех осей координат произвольные постоянные — поступательные перемещения вдоль осей.

Далее введем вместо новые функции положив

Подставляя выражения (18.7) в левые части первого, второго и шестого уравнений (18.6) и приравнивая

коэффициенты при и свободные члены в левых и правых частях, получим три уравнения для и две системы уравнений для :

(см. скан)

Из (18.10) следует, что есть линейная функциям и у с произвольными коэффициентами А, В, С:

а следовательно, нормальное напряжение в поперечных сечениях равно [см. (18.5)]:

Интегрируя первые два уравнения (18.11) и удовлетворяя третьему, получим уравнения для

Здесь

— величины, названные приведенными коэффициентами деформации [56]. Исключая из (18.12) и (18.16) (путем дифференцирования, сложения и вычитания), получим два уравнения для а их:

Окончательные выражения для перемещений запишутся так:

Эти выражения содержат всего 10 постоянных. Форму-лы (18.19) показывают, что члены с множителем равны

соответствующим членам перемещений при простом кручении ([22], стр. 39); - жесткие перемещения (18.7).

Постоянные найдутся из условий равновесия на торцах (или в поперечном сечении в случае стержня бесконечной длины). Постоянные, входящие в состав жестких перемещений, определятся из условий закрепления торцов. Заметим, что этих условий должно быть ровно шесть, а не больше и не меньше. Следовательно, этим методом мы не сможем решить задачу, закрепляя торцы произвольным образом. В случае конечного сечения мы будем считать закрепленным неподвижно центр тяжести сечения и бесконечно малую площадку около него, или элемент оси, проходящий через центр. Для того чтобы решцть задачу при произвольном закреплении торцов, необходим более строгий подход (или метод), которого мы здесь касаться не будем.