Глава 7. РАВНОВЕСИЕ АНИЗОТРОПНОЙ КОНСОЛИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИЗГИБАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ ПРОСТЕЙШЕГО ВИДА

В настоящей главе исследуется упругое равновесие консоли, закрепленной одним концом и деформируемой силой, приложенной к другому концу. При наличии упругой симметрии, в частности, для ортотропного тела, упругое равновесие будет такого же типа, как у изотропного тела и деформации, с качественной стороны, будут мало отличаться от деформаций изотропного тела. Если же упругая симметрия мало развита или совсем отсутствует, мы получаем значительно более сложную деформацию и соответствующее напряженное состояние. С изучения этого напряженного состояния мы и начнем.

§ 62. Обобщенный изгиб однородной консоли под действием поперечной силы

Поставим задачу следующим образом. Имеется цилиндрическое или призматическое тело, однородное и прямолинейно-анизотропное, у которого плоскости упругой симметрии в разных точках не совпадают с плоскостями поперечных сечений или совсем отсутствуют. Один торец тела закреплен неподвижно, а на другом действуют усилия, приводящиеся к силе приложенной в плоскости торца. Считая области торцов конечными, полагаем, что направление силы совпадает с направлением одной из главных осей инерции сечения. Боковая поверхность не нагружена и не закреплена; объемные силы отсутствуют.

Примем центр тяжести незакрепленного торца за начало координат и направим ось z параллельно образующей, а оси х и у в плоскости торца по главным осям инерции

сечения (рис. 93). Напряженное состояние изотропного тела, нагруженного и закрепленного указанным образом, характеризуется тем, что в поперечных сечениях где I — длина тела) будут действовать нормальные напряжения

пропорциональные изгибающему моменту — (в обычном понимании сопротивления материалов) и обратно пропорциональные моменту инерции меняющиеся по высоте по линейному закону и касательные напряжения Тяг, в продольных сечениях действуют только касательные напряжения. Такого же типа будет напряженное состояние тела при развитой упругой симметрии, когда имеются плоскости упругой симметрии, совпадающие с плоскостями поперечных сечений; упругое равновесие в этих случаях называют изгибом поперечной силой.

Рис. 93.

Если же плоскости упругой симметрии не совпадают с плоскостями поперечных сечений или совсем отсутствуют, то распределение напряжений и деформаций будет значительно сложнее — сходно с состоянием при обобщенной плоской деформации. В этом случае мы будем называть напряженное и деформированное состояние тела не изгибом, а обобщенным изгибом поперечной силой. Само тело в дальнейшем будем называть консолью. Задача об обобщенном изгибе была впервые поставлена Фойгтом [38]; более подробно она изучена в нашей работе [59] (см. также книгу [20]).

Выведем общие уравнения обобщенного изгиба однородной консоли. Так как при изгибе поперечной силой нормальное напряжение в поперечных сечениях определяется по формуле то мы предположим, что при обобщенном изгибе

а все остальные составляющие напряжений не равны нулю и не зависят от z. Основная система уравнений примет вид

Введем новое обозначение:

Отсюда следует:

Уравнения обобщенного закона Гука (62.4) перепишутся таким образом:

Из третьего, четвертого, пятого уравнений (62.7) определяем перемещениям, и (с точностью до функций а затем удовлетворяем остальным уравнениям. В результате мы получим уравнения и формулы, сходные

с уравнениями и формулами для случая, когда напряжения в теле не зависят от z с добавлением полиномов, пропорциональных силе Окончательные выражения для и перемещений будут иметь вид:

(см. скан)

Здесь - «жесткие» перемещения (18.8), содержащие шесть постоянных (их мы найдем из условий на закрепленном торце), постоянные, определяемые из условий равновесия части консоли, — функции, удовлетворяющие пяти уравнениям:

(см. скан)

(см. скан)

Здесь

Уравнениям равновесия сплошной среды (62.3) мы удовлетворим с помощью двух функций напряжений полагая:

где какое-нибудь частное решение третьего уравнения (62.3). Исключая из (62.11) путем двукратного дифференцирования и из (62.12) путем дифференцирования по х и у, приходим к заключению, что игр удовлетворяют неоднородной системе уравнений:

(см. скан)

Здесь операторы (19.3).

Условия на боковой поверхности, которая не нагружена, или, что то же, на контуре поперечного сечения, мы упростим и приведем к такому виду:

Если область сечения односвязна, то можно положить на контуре Третье условие (62.15) упрощается, если частные решения можно подобрать так, чтобы на контуре выражение было равно нулю. Тогда третье условие (62.15) запишется так: или, в случае односвязной области сечения,

Напряжения в поперечных сечениях должны удовлетворять условиям равновесия:

Первые два равенства (62.17) представляют собой тождества, в чем легко убедиться, преобразуя интеграл по площади в интеграл по контуру и используя уравнения равновесия сплошной среды. В самом деле:

(так как интеграл от произведения ху равен центробежному моменту относительно главных осей);

Остальные условия послужат для определения постоянных В нашем случае следовательно, интегральные формулы § 19 значительно упрощаются.

Из уравнений (62.16) находим

площадь сечения). Постоянную О мы определим из шестого уравнения (62.16).

Под действием поперечной силы консоль, обладающая анизотропией общего вида, испытывает деформацию более сложную, чем изотропная консоль тех же размеров, а именно: 1) к напряжениям характерным для изгиба силой, добавляются напряжения характерные для плоской деформации; 2) поперечные сечения не остаются плоскими, а как показывает третья формула (62.10), искривляются; искривление зависит от функции ; 3) изгиб сопровождается закручиванием. Но даже в общем случае анизотропии изогнутая ось будет плоской кривой:

Это уравнение тождественно с уравнением изогнутой оси изотропной консоли, у которой жесткость равна где модуль Юнга для растяжения сжатия вдоль оси z. Формула элементарной теории изгиба, связывающая кривизну изогнутой оси с изгибающим моментом, оказывается и в этом случае верной: