§ 66. Изгиб однородной ортотропной консоли прямоугольного сечения

С решением задачи о кручении стержня прямоугольного сечения, однородного и ортотропного, сходно решение для такой же консоли, изгибаемой поперечной силой (рис. 95). Расположим оси, как указано на рис. 95, где

плоскости упругой симметрии нормальны к осям х, у, z или параллельны граням прямоугольного параллелепипеда. Решение этой задачи также получено Сен-Венаном в работе [122, 30]; мы выведем его методом, примененным ранее для решения соответствующей задачи о кручении (§ 56).

Выражая напряжения через функцию напряжений (формулы (64.4)), возьмем частное решение уравнения (64.5) в виде

Рис. 95.

Эти напряжения обращаются в нуль на сторонах ; на двух других сторонах имеем Формулы для напряжений принимают вид

где а уравнение для будет

так как постоянную можно сразу же принять равной нулю. Задача сводится к определению функции напряжений которая обращается в нуль на всех четырех сторонах прямоугольника:

Разложим правую часть уравнения (66.3) в ряд Фурье на интервале ряд будет содержать только синусы и уравнение (66.3) перепишется так:

Ищем решение в виде ряда, удовлетворяющего условиям на двух сторонах

Подставляя в (66.4), получаем для обыкновенное уравнение,

общий интеграл которого будет

где

Произвольные постоянные определим из условий на сторонах требуя, чтобы там функция напряжений была равна нулю. В результате получим:

(см. скан)

Касательные напряжения в центре сечения и в точках и на серединах сторон, параллельных силе определим по формулам: в центре

в точках

Коэффициенты функции отношения

заданные рядами

Значения коэффициентов для четырех отношений полученные на основании вычислений Сен-Венана, приведены в таблице 22.

Таблица 22 (см. скан) Коэффициенты

Наибольшее касательное напряжение получится в точках

По элементарной теории изгиба касательное напряжение не меняется по ширине сечения и на оси симметрии, нормальной к линии действия силы, получается наибольшим:

Формула (66.12) вместе с (66.14) дает поправочный коэффициент, на который нужно умножить ттах, чтобы

получить наибольшее касательное напряжение в ортотропной консоли. При больших коэффициенты малы и Тщах близко по величине к напряжению, которое получается по элементарной теории (как в консоли с сечением в виде узкого прямоугольника). Поправочные коэффициенты возрастают с уменьшением итщх при малых будет значительно отличаться от ттах, но в этих случаях касательные напряжения играют второстепенную роль, так как величина их мала по сравнению с наибольшим нормальным напряжением Малым отношениям соответствуют случаи изотропной консоли, изгибаемой силами, нормальными к длинным сторонам прямоугольника.