Глава 5. ОБОБЩЕННАЯ ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ, ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА И РОДСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОРОДНОГО И НЕПРЕРЫВНО-НЕОДНОРОДНОГО ТЕЛ, ОБЛАДАЮЩИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ

В главе 5 мы рассматриваем задачи, которые изучались в предыдущей главе, но для тела, обладающего цилиндрической анизотропией — об обобщенной плоской деформации, плоской деформации, обобщенном плоском напряженном состоянии, а также сходные задачи, характерные именно для криволинейной анизотропии и для непрерывно-неоднородного тела. Это — задачи о растяжении — сжатии осевой силой и об изгибе моментом; и ту, и другую нужно представлять себе как обобщенную, так как распределение напряжений при растяжении — сжатии и при изгибе оказываются значительно сложнее распределения в однородном прямолинейно-анизотропном теле. Некоторые наиболее важные частные задачи доведены нами до явных формул для напряжений.

§ 38. Обобщенная плоская деформация в однородном теле, обладающем цилиндрической анизотропией

В третьей главе нашей книги был рассмотрен общий случай упругого равновесия нагруженного цилиндра, однородного и обладающего цилиндрической анизотропией, характеризующийся тем, что все составляющие напряжений не меняются вдоль образующей и зависят, следовательно, только от двух координат (§ 23). В этом и

последующих параграфах мы изучим частные случаи упругого равновесия указанного типа, представляющие практический интерес. Начнем со случая, который был ранее, в главе 4, назван обобщенной плоской деформацией.

Поставим задачу следующим образом. Имеется тело бесконечной длины, ограниченное поверхностью произвольного цилиндра (в частности, эта поверхность может иметь бесконечно длинные плоские участки и даже быть не криволинейной, а плоской — бесконечный слой, бесконечное полупространство и т. п.). Тело является однородным и обладает цилиндрической анизотропией самого общего вида, с осью анизотропии параллельной образующей. Действуют поверхностные силы, распределенные по цилиндрической поверхности, и объемные силы, причем и те, и другие действуют в плоскостях, нормальных к образующей и не меняются вдоль образующей, а объемные силы, кроме того, имеют потенциал.

Область поперечного сечения может быть какой угодно — конечной, бесконечной, односвязной или многосвязной. Примем плоскость какого-нибудь поперечного сечения за координатную плоскость или ху, за начало координат возьмем точку О, в которой ось пересекает данное сечение; ось z направим по оси анизотропии, а оси х и у направим произвольно, если область бесконечна, или параллельно главным осям инерции сечения, если эта область конечна. Ось х одновременно будем считать и полярной осью цилиндрической системы координат и от нее будем отсчитывать полярные углы 0 (расстояние отсчитывается, как всегда, от начала координат О). При решении некоторых вопросов для случая, когда область сечения конечна, мы будем пользоваться еще системой координат (декартовых) у которой начало О совпадает с центром тяжести сечения, а оси х, у направлены по его главным осям инерции. Координаты центра тяжести О в системе будем обозначать через (рис. 67).

Проекции поверхностных усилий на координатные направления условимся обозначать через

проекции объемных сил (отнесенных к единице объема) — через причем

где потенциал объемных сил

Выпишем (с очевидными сокращениями) уравнения обобщенного закона Гука для общего случая цилиндрической анизотропии, используя коэффициенты деформации

Рис. 67.

В этих уравнениях, самое большее, 21 коэффициент, но по В. В. Новожилову, рассуждения которого можно перенести и на случай цилиндрической анизотропии, независимых (инвариантных) коэффициентов в общем случае будет 18 [27].

Напомним одно важное обстоятельство, о котором уже говорилось в § 10. Если ось проходит вне тела или внутри цилиндрической полости, то никаких дополнительных ограничений на можно не накладывать; коэффициенты могут быть какими угодно.

Но если ось проходит не в полости, а по телу, тогда непременно должны быть связаны добавочными зависимостями, подробно разобранными в главе 1 (§ 10); в противном случае задача не будет иметь физического смысла, так как решается на основании уравнений, заключающих в себе противоречия.

Так как длина тела бесконечна и усилия не зависят от z, то все поперечные сечения находятся в одинаковых условиях, а следовательно, и напряжения, и перемещения

не зависят от z. Обращаясь к выражениям для перемещений в общем случае (23.12), мы видим, что это условие будет выполнено, если положить

и тогда

коэффициенты «жестких» перемещений в плоскости сечения, «жесткое» смещение в продольном направлении).

Функции удовлетворяют уравнениям (23.9) —

В (38.5) и как известно (§ 23), приведенные упругие постоянные:

Далее, как и в общем случае, вводим две функции напряжений, и получаем выражения для пяти составляющих, такие же, как и в общем случае (§ 23):

Нормальное напряжение в поперечных сечениях выражается через все остальные:

Функции удовлетворяют системе двух уравнений:

дифференциальные операторы четвертого, третьего и второго порядков, содержащие 13, 7, 8 и 4 слагаемых. Мы не будем приводить их выражений, так как они имеются в главе 3, § 23 (см. (23.16)). Граничные условия на цилиндрической поверхности не отличаются от условий (23.17) общего случая:

Задача сводится к определению двух функций напряжений, удовлетворяющих условиям (38.11) или, иначе к граничной задаче для системы (38.10), вообще неоднородной, с известными правыми частями [20]. Найденные напряжения в каждом поперечном сечении приведутся к продольной силе к изгибающим моментам с составляющими и к скручивающему моменту Эти четыре величины, одинаковые для всех сечений, определятся из равенств (23.18)-(23.21), где нужно положить (см. также рис. 26).

Если в каждой точке нет плоскостей упругой симметрии, нормальных к образующей, то поперечные сечения не остаются плоскими после деформации, а искривляются

и притом одинаково; искривление зависит от функции формула Деформация не является плоской (в общепринятом смысле) и ее можно назвать обобщенной плоской.

Если тело имеет конечную длину и торцевые сечения закреплены, так что расстояние между ними не может изменяться, то, учитывая принцип Сен-Венана, мы можем считать, что напряжения будут такими же, как в теле бесконечной длины во всех точках, удаленных от торцов. Вблизи торцов образуются зоны местных напряжений, но как там распределятся напряжения, мы судить не можем, так как для этого у нас недостаточно данных, а принцип Сен-Венана их не дает, так как носит только чисто качественный характер.

Несколько сложнее обстоит дело в том случае, когда тело, нагруженное указанным образом по цилиндрической поверхности, имеет конечную длину и торцы, свободные от нагрузки. Приближенное решение для конечной области сечения мы получим, если решим краевую задачу для системы (23.15), более сложной по сравнению с (38.10) и содержащей четыре неизвестные постоянные Удовлетворив точно условиям на боковой поверхности (38.11), мы сможем удовлетворить условиям на свободных торцах только приближенно, потребовав, чтобы были выполнены условия (23.18)-(23.21), где Так мы получим систему уравнений для четырех неизвестных постоянных, а решив ее, найдем распределение напряжений в теле, при котором главный вектор и главный момент усилий на торцах будут равны нулю. Формулы для перемещений в этом случае (23.12) показывают, что усилия, распределенные по цилиндрической поверхности, будут вызывать искривление сечений, закручивание, растяжение и изгиб оси.