§ 19. Функции напряжений

Составляющие напряжений можно выразить через две функции двух переменных х, у так, чтобы уравнения равновесия сплошной среды (1.6) или (18.2) удовлетворялись тождественно. Положим:

Шестая составляющая определится по формуле 18.14). Далее возьмем два уравнения (18.17) и (18.18) и выразим напряжения через (функции напряжений), лучим систему двух уравнений для функций напряжений, которая сокращенно запишется так:

Здесь дифференциальные операторы четвертого, третьего и второго порядков, имеющие такой вид

Напряжения и перемещения, соответствующие функциям напряжений должны быть непрерывными и однозначными внутри тела. На боковой (цилиндрической) поверхности должны быть выполнены граничные условия. Если там задаются внешние усилия как функции координат точек контура сечения (первая основная задача), то условия на поверхности или, что то же, на контуре поперечного сечения, будут иметь вид

Здесь внешняя нормаль к контуру поперечного сечения, уравнение которого удобно задать в параметрическом виде: За параметр часто берут длину дуги контура, отсчитываемую от точки, принятой за начальную, в положительном направлении. За положительное направление отсчета дуг мы примем такое, при котором контур (как внешний, так и внутренний, т. е. контур выреза в случае многосвязной области) обходится против часовой стрелки. Тогда для внешнего контура области сечения будем иметь

и для внутреннего

Интегрируя (19.4) по дуге контура от начальной его точки О до переменной точки перепишем условия (19.4) таким образом:

Верхние знаки нужно поставить для наружного контура, нижние — для внутреннего. Постоянные можно зафиксировать произвольно на одном из контуров, ограничивающих сечение; в частности, для конечной односвязной области можно принять

Если на боковой поверхности (контуре сечения) заданы проекции перемещения (вторая основная задача), то мы имеем там условия:

Условия на торцах или в поперечном сечении, где действуют усилия, приводящиеся к равнодействующей и к изгибающим и скручивающему моментам, первоначально запишутся так:

Здесь и далее (гл. 3—7) двойные интегралы берутся по области поперечного сечения цилиндрического тела.

Сила и моменты могут быть как заданными, так и подлежащими определению (реактивными), в зависимости от условий закрепления торцов.

Если в теле имеются плоскости упругой симметрии, нормальные к оси z,

и система (19.2) распадается на два независимых уравнения — одно для и другое для

В соответствии с этим и задача распадается на две — на задачу о плоской деформации и задачу о кручении, которые и нужно будет решать самостоятельно. Подробнее о плоской задаче и о кручении будет сказано в главах 4—6.

Остановимся на случае, когда область поперечного сечения конечна и односвязна. Поместим начало координат в центре тяжести сечения, а оси х, у направим по главным осям инерции. Преобразуем условия на торцах (19.9).

Прежде всего убеждаемся, что первые два условия (19.9) удовлетворяются тождественно.

Имеем:

(простой интеграл берется по всему контуру у сечения). Эти интегралы тождественно равны нулю, так как на контуре Остальные четыре условия (19.9) содержат в общей сложности 17 интегралов от напряжений и напряжений, умноженных на линейные функции Можно убедиться в том, что еще два интеграла равны нулю, а два выражаются через скручивающий момент Имеем

Аналогично

Условия на торцах принимают такой вид:

Здесь площадь поперечного сечения, его главные моменты инерции (относительно осей х и у).

Интегралы от напряжений по площади поперечного сечения и от напряжений, умноженных на х или у, можно выразить через заданные величины — поверхностные и объемные силы. Для того чтобы выполнить это преобразование, подведем под знаки интегралов выражения, равные пулю — левые части уравнений равновесия сплошной среды (18.2) или левые части уравнений, умноженные на степени или произведения х и у. Затем двойные интегралы преобразуем в интегралы по контуру поперечного сечения 7, учитывая граничные условия (19.4). В данных случаях мы не будем вводить в рассмотрение потенциал объемных сил, так как удобнее обозначать объемные силы просто через Не приводя всех преобразований, укажем лишь окончательные результаты:

(см. скан)

В условиях на торцах можно перейти к проекциям поверхностных и объемных сил и тогда вместо (19.13) —

(19.14) получим:

Из уравнений (19.18) — (19.20) определяются однозначно коэффициенты входящие в формулу для напряжения Постоянная найдется из последнего (шестого) условия (19.9). В случае односвязной конечной области это условие легко упростить, выразив интеграл в левой части шестого уравнения (19.9) и преобразовав его. Будем иметь:

Преобразуя двойной интеграл в интеграл по контуру, где можно принять получаем уравнение для определения 0: