§ 39. Задача о плоской деформации тела с цилиндрической анизотропией и родственные задачи

Рассмотренная в предыдущем параграфе задача очень упрощается, если плоскость поперечного сечения тела является плоскостью упругой симметрии [20]. Сохраняя расположение осей координат, как на рис. 67, в этом

случае имеем

Система (38.10) распадается на два уравнения, из которых одно содержит только функцию а другое — только функцию а задача распадается на две: 1) определение функции и соответствующих напряжений и 2) определение функции (не связанное с нахождением и соответствующих напряжений, характерных для деформации чистого кручения. Оставляя пока в стороне вторую задачу (о кручении, которой мы специально займемся в следующей главе), рассмотрим различные варианты первой задачи.

1. Плоская деформация [201. Предположим, что однородное тело с цилиндрической анизотропией вида (39.1) является бесконечно длинным и нагружено поверхностными усилиями и объемными силами. И те, и другие действуют в плоскостях, нормальных к образующей и не меняются вдоль образующей. Тогда, обращаясь к § 23, мы видим, что постоянные равны нулю, так как все поперечные сечения деформируются одинаково, перемещения же удовлетворяют уравнениям:

Отсюда заключаем, что общие выражения для перемещений имеют вид

а следовательно, поперечные сечения не искривляются и деформация будет плоской. Так как функция

удовлетворяет однородному уравнению и однородным граничным условиям, то, следовательно, в любой точке и

Для остальных напряжений получаем формулы:

Функция удовлетворяет уравнению:

Здесь — оператор четвертого порядка, уже встречавшийся раньше в главе 3 (см. (23.16)). Граничные условия имеют вид

Деформация будет плоской и в случае тела конечной длины с закрепленными торцами, расстояние между которыми не может изменяться. В этом случае нужно исключить из рассмотрения зоны местных напряжений вблизи торцов, где распределение напряжений и деформаций используемым методом мы найти не можем, но вне этих зон на основании принципа Сен-Венана деформация будет плоской и распределение напряжений — такое, как при плоской деформации.

Если тело имеет конечную длину и конечную область поперечного сечения и нагружено так, как указано выше, а торцы его не нагружены и не закреплены, то приближенное решение задачи можно получить, используя

уравнение:

Для этого уравнения нужно решить краевую задачу, удовлетворив условиям (39.8). Неизвестные постоянные входящие в уравнение (39.9) и в состав выражения для напряжений

определим из условий на торцах, потребовав, чтобы там главный вектор и главный момент усилий были равны нулю:

Из условий (39.11) получаем систему трех уравнений для трех неизвестных —

Для перемещений получаются следующие общие формулы:

где шесть постоянных, характеризующих «жесткие» смещения. Функции определятся из системы трех уравнений:

Найдя неизвестные постоянные и функции мы можем заключить из выражений для перемещений (39.12), что тело со свободными торцами деформируется так, что ось его изгибается и испытывает продольное растяжение — сжатие, но не закручивается, а поперечные сечения остаются плоскими.

2. Равновесие стержня под действием осевой силы и изгибающих моментов [20]. Если боковая поверхность цилиндра, у которого область поперечного сечения конечна, свободна от внешних усилий, а на концах действуют сила Р,направленная по геометрической оси z, и изгибающий момент с составляющими относительно главных осей инерции х, у сечения, то в однородном цилиндре с прямолинейной анизотропией получается элементарное распределение напряжений, как в однородном изотропном цилиндре. Иначе обстоит дело, если цилиндр обладает криволинейной и, в частности, цилиндрической анизотропией с осью анизотропии, параллельной образующей (рис. 68). Составляющие напряжений равны нулю, а выражаются через функцию

Рис. 68.

напряжений F (формулы (39.5)). Функция напряжений удовлетворяет уравнению (39.9), а шестая составляющая напряжений определится по формуле (39.10).

Граничные условия в данном случае] будут однородными:

а уравнение для функции напряжений F (39.9) - неоднородным. При отсутствии объемных сил условия на цилиндрической поверхности (39.14) весьма упрощаются и приводятся (в случае односвязной области сечения) к следующим:

Таким образом, задача о растяжении — сжатии осевой силой и изгибе моментами стержня, обладающего цилиндрической анизотропией, оказывается родственной задаче о плоской деформации и примерно одинаковой ей по трудности. Растягивающая сила и изгибающие моменты вызывают не только нормальное напряжение в поперечных сечениях но также и напряжения характерные для плоской деформации.

Задача чрезвычайно упрощается, если между упругими постоянными существуют зависимости

(а это будет, например, в ортотропном теле, у которого ось анизотропии проходит не в полости, а по телу) и объемные силы отсутствуют. Уравнение для функции напряжения становится однородным: Учитывая граничные условия, можно принять чему соответствует распределение напряжений

где площадь поперечного сечения и моменты инерции его относительно главных осей инерции х, у.

3. Обобщенное плоское напряженное состояние. Задаче о плоской деформации родственна также и задача об

обобщенном плоском напряженном состоянии плоскопараллельной пластинки постоянной толщины Пусть имеется такая пластинка произвольного очертания, обладающая цилиндрической анизотропией, с осью анизотропии, нормальной к срединной плоскости, причем эта плоскость и ей параллельные являются плоскостями упругой симметрии. Принимая ось анизотропии за ось z цилиндрической системы координат с началом О в точке срединной плоскости (рис. 69), рассмотрим упругое равновесие под действием усилий, распределенных по краю симметрично относительно срединной плоскости и мало меняющихся по толщине.

Рис. 69.

Достаточно ясное представление о напряженно-деформированном состоянии пластинки дадут средние по толщине значения составляющих напряжения и проекций перемещения:

Введем в рассмотрение также средние по толщине объемные силы и их потенциал имеем

Так же как и в случае тела с прямолинейной анизотропией, средние напряжения можно выразить через функцию напряжений (формулы Пренебрегая средним напряжением по сравнению с в результате

получим для функции уравнение

где — оператор, полученный из (первая формула (23.16)) путем замены приведенных коэффициентов соответствующие коэффициенты деформации Средние перемещения, на основании уравнений обобщенного закона Гука, определятся из уравнений:

Граничные условия, т. е. условия на контуре области пластинки (на срединной плоскости) по форме не отличаются от условий на контуре поперечного сечения в случае плоской деформации.