§ 8. Поверхности и кривые, изображающие изменение упругих постоянных с изменением направления

Как было показано, упругие постоянные для одной и той же точки зависят от величин, характеризующих направление — от или, в частном случае, от Были предложены различные геометрические построения, наглядно иллюстрирующие изменение упругой постоянной данного наименования для разных направлений, проведенных через точку О. Для одного и того же материала можно предложить несколько методов таких построений. Мы остановимся на основных методах, не указывая пока, для какого материала проводится геометрическое построение, а обращая внимание на то, как строятся соответствующие геометрические изображения. Вопрос о конкретных упругих

постоянных и геометрических построениях для них разбирается в § 8.

1. Направляющие поверхности и кривые. Как было показано, упругие постоянные, преобразованные к новым осям, являются однородными полиномами четвертой степени относительно направляющих косинусов. Уместно вспомнить также, что в теории напряжений нормальное напряжение является квадратичной функцией направляющих косинусов нормали к площадке, на которую оно действует. По формуле для нормального напряжения можно построить так называемую направляющую поверхность Коши, которая дает (по крайней мере до некоторой степени) возможность судить об изменении нормальных напряжений на площадках, проведенных через данную точку.

Аналогичным путем можно построить поверхности, характеризующие изменение модуля Юнга для разных направлений (см. работу Сен-Венана [123]) и других упругих постоянных. Будем откладывать по направлениям от произвольно выбранной точки, принятой за начало координат О некоторой фиксированной системы х, у, z, отрезки, длины которых связаны с модулем зависимостью

Здесь к — масштабный коэффициент, который можно, например, принять равным где модуль Юнга для направления оси х.

Обратимся к формуле (5.8). Выражая косинусы через координаты по формулам

и откладывая по разным направлениям, исходящим из начала, отрезки, равные

заключаем, что концы отрезков опишут поверхность четвертого порядка, которая и называется направляющей поверхностью для постоянных или для модуля Юнга.

Уравнение этой поверхности имеет вид

Линии пересечения этой поверхности с плоскостями, проходящими через начало координат, называются направляющими кривыми модуля Юнга. Уравнения упрощаются, если тело является ортотропным. Направляя оси х, у, z нормально к плоскостям упругой симметрии, мы получим уравнение направляющей поверхности:

Уравнение направляющей кривой на плоскости ху имеет вид

где

На рис. 5 показаны направляющие кривые модуля Юнга для двух значений параметров: а) В частных случаях направляющие кривые могут выродиться в эллипсы или окружности. Несколько примеров рассмотрено в работе Сен-Венана [123], но мы их здесь разбирать не будем.

2. Поверхности коэффициентов растяжения. Наглядное представление о сопротивлении материала растяжению и сжатию мы можем получить, откладывая от данной точки по разным направлениям отрезки, длина которых пропорциональна постоянной

(или, что то же, обратно пропорциональна модулю Юнга для данного направления). Концы таких отрезков опишут поверхность, называемую «поверхностью коэффициентов растяжения».

Рис. 5.

На рис. 6 показан вид поверхности коэффициентов растяжения для материала, обладающего симметрией, как у кубического кристалла прочие

Рис. 6

Рис. 7.

Поворот фигуры на приводит к совмещениям всех ее точек. Такая поверхность получится, например, у монокристалла альфа-желега. Поверхность отсекает на трех осях

симметрии (главных осях упругости) одинаковые отрезки. На рис. 7 показан общий характер поверхности растяжения для ортотропного материала. Оси координат — главные, т. е. нормальны к плоскостям упругой симметрии.

3. Диаграммы анизотропии. Существуют еще способы построения поверхностей, характеризующих изменение упругих постоянных.

Мы остановимся на так называемых диаграммах анизотропии, которые представляют собой пространственные фигуры, но достаточно наглядно изображаются на плоскости. Для построения используется декартова система координат.

Ряд преимуществ перед другими имеет такой способ построения: берется система координат система с общим началом О, но так, чтобы оси у и у оставались в плоскости (начальной; рис. 8). Угол между осями принимается за одну координату а угол между х и плоскостью за другую, 0.

Рис. 8.

Таким образом, упругая постоянная, изменение которой мы исследуем, представляется в виде функции двух переменных: (лежит в плоскости и 0 (в плоскости, перпендикулярной к Затем берется пространственная координатная сетка (первый октант); по абсцисс откладываются значения от 0 до 90°, по оси ординат — углы 0 и по оси абсолютные значения упругой постоянной. Значения упругой постоянной откладываются от точек с координатами по вертикалям, без искажения. Сначала строятся кривые изменения константы при для значений 0,- взятых через равные промежутки (например, через 15°, или при более точном построении через 5° и т. д.). Затем строятся кривые для и 0, меняющихся от 0 до 90°. При этом

используются средства современной вычислительной техники, на которых мы останавливаться не будем. Когда все кривые будут построены, то они будут изображать сечения некоторой поверхности. Удобство такой диаграммы состоит главным образом в том, что она хотя и представляет собой изображение поверхности в косоугольной проекции, но значения упругой постоянной откладываются без искажения по вертикали и всегда могут быть определены по графику для любой пары углов и 0.

Рис. 9.

На рис. 9 показан вид диаграммы для модуля Юнга одного из современных материалов — стеклопластиков, взятой из книги [7]. Существуют и другие способы построения диаграмм (поверхностей) анизотропии, в частности, в полярных координатах. Этот вопрос достаточно полно освещен в работах Е. К. Ашкенази и Э. В. Ганова [6] и Е. К. Ашкенази и др. [7].