§ 74. Кручение криволинейно-анизотропного конуса

Вопрос о кручении однородного изотропного тела в виде усеченного конуса, сплошного и полого, подробно исследован в книге Н. X. Арутюняна и Б. Л. Абрамяна [4]. Кручение анизотропного конуса (с анизотропией частного вида) под действием скручивающего момента, приложенного к вершине, рассмотрено в наших работах [58], [20], [22].

Укажем, как выводится решение задачи для однородного тела. Относительно решения для неоднородного тела мы ограничимся некоторыми замечаниями.

Пусть дано упругое тело длиной ограниченное снаружи и внутри поверхностями круговых конусов с общей осью и с общей вершиной (конический полый стержень, не обязательно тонкий), и двумя плоскими торцевыми поверхностями, нормальными к оси. Тело обладает анизотропией частного вида: в каждой точке имеется плоскость упругой симметрии, нормальная к оси вращения (или параллельная плоскостям поперечных сечений). Примем общую вершину конических поверхностей за начало координат и направим ось z цилиндрической системы координат по общей оси конических поверхностей, как угодно (нормально к рис. 101).

Рис. 101.

Уравнения обобщенного закона Гука для такого тела будут иметь вид (72.1); они содержат 13 (12) упругих постоянных Будем считать, что один торец (например, имеющий большую площадь) как-то закреплен, а по другому распределены внешние усилия. Закон распределения усилий не задается, а задается скручивающий момент к которому они приводятся. Если решать задачу с помощью функции напряжений то эта функция должна удовлетворять уравнению (73.1), граничным условиям:

и условию в любом поперечном сечении и на торцах:

Здесь а и углы наклона образующих наружной

и внутренней поверхности к оси скручивающий момент величина постоянная. Условиям (74.1) и (74.2) мы удовлетворим, если найдем решение уравнения (72.1) в виде функции отношения

Подставляя (74.3) в уравнение (72.1), получим обыкновенное уравнение, легко разрешимое:

Общий интеграл (74.4) представится формулой

Удовлетворяя условию (74.2), которое примет вид

получаем

где

постоянная, не влияющая на напряжения и деформации; ее можно положить равной нулю.

Перемещение мы найдем, интегрируя второе и третье уравнения (72.5). Произвольную постоянную, полученную в результате интегрирования, мы найдем, уточняя

условия закрепления. Если принять, что закреплена внешняя окружность широкого конца то, определив постоянную, мы получим выражение для угла поворота радиуса сечения, находящегося на расстоянии z от вершины конусов:

Так как о) есть функция двух переменных, то нужно условиться, что подразумевать под полным углом закручивания. Можно, например, считать, что полный угол закручивания это угол, на который повернется внешняя окружность незакрепленного конца (радиус ее равен Получим

Для сплошного неортотропного конуса

В случае ортотропного конуса нужно всюду положить а следовательно,

Полагая во всех формулах получим известное решение для изотропного тела.

Если конус обладает цилиндрической анизотропией, но является непрерывно-неоднородным, т. е. модули сдвига его — непрерывные дифференцируемые функции координат то можно указать ряд случаев, когда решение задачи о кручении находится сравнительно просто. Приведем два таких случая (решения для них имеются в нашей книге

1) модули сдвига — произвольные функции отношения в частности,

где любое вещественное число;

2) модули сдвига заданы в виде выражений:

вещественные числа).

Заметим, что для конуса, обладающего сферической анизотропией и однородного, у которого начало координат находится в вершине конической поверхности, а ось z направлена по геометрической оси, получается совершенно элементарное решение:

а остальные составляющие равны нулю. С определяется из условия равновесия.