§ 81. Распределение напряжений в тяжелом массиве с вертикальной полостью
Задаче о равновесии цилиндра родственна следующая задача, представляющая некоторый интерес для горного дела.
Имеется однородный трансверсально-изотропный массив, ограниченный горизонтальной плоскостью (полупространство); все плоскости изотропии параллельны ограничивающей. От этой плоскости внутрь идет вертикальная полость в виде кругового цилиндра радиуса 
Требуется определить напряжения вблизи полости от собственного веса.
В теории мы сначала будем полагать массив бесконечным и длину полости бесконечной. Начало координат поместим на ограничивающей плоскости в центре сечения полости, а ось z направим вертикально вниз (рис. 106). Задача решается элементарно (см. работы [58] и [20], стр. 268-270).
Рис. 106.
Определим предварительно напряжения и перемещения от собственного веса в сплошном массиве, без полости; мы будем отмечать их нуликами. Полагая 
из уравнения обобщенного закона Гука (78.1) находим
Интегрируя второе уравнение равновесия (78.8), где 
(у — удельный вес) и удовлетворяя условию на свободной поверхности 
где должно быть 
будем иметь
(с — произвольная постоянная).
Распределение напряжений в полупространстве с полостью получим путем наложения напряжений (81.2) и напряжений, определяемых по формулам (78.11), соответствующих функции напряжений:
последние стремятся к нулю при неограниченном возрастании 
Если на поверхности полости никаких внешних усилий не приложено, то там должны выполняться условия:
Кроме того, на плоскости 
Определяя постоянные 
из этих условий, получим
Напряжение 
в радиальных сечениях у поверхности полости определится по формуле:
Это напряжение будет вдвое больше напряжения в сплошном массиве на том же расстоянии z от ограничивающей плоскости. Выражения для перемещений показывают, что край отверстия деформированного массива, рассматриваемого с позиций классической теории упругости, должен приподниматься.
Если на поверхность полости действует давление 
меняющееся пропорционально расстоянию z, то к
напряжениям (81.6) добавятся следующие:
Это будет иметь место, когда полость доверху заполнена жидкостью.
Гораздо сложнее задача о распределении напряжений в упругом тяжелом массиве с вертикальной полостью конечной длины, т. е. имеющей плоское дно. Эта задача решалась В. 3. Васильевым для случая изотропного массива (см. [50]). Задача свелась к системе трех интегральных уравнений, которая решалась приближенно. В результате получены формулы, позволяющие провести подсчет напряжений в нулевом и в первом приближении.
