§ 82. Распределение напряжений в упругом полупространстве под действием осесимметричной нормальной нагрузки
Поставим задачу следующим образом. Дано упругое однородное трансверсально-изотропное полупространство, ограниченное бесконечной плоскостью с плоскостями изотропии, параллельными ограничивающей. На этой ограничивающей плоскости по площади некоторого круга распределены нормальные усилия, обладающие симметрией вращения относительно нормали, проведенной через центр круга, принимаемый за начало О цилиндрической системы координат (ось z направлена нормально к границе внутрь).
Рис. 107.
Обозначая через 
интенсивность нагрузки (рис. 107) мы будем предполагать, что эта функция удовлетворяет условиям: 1) она конечна при всяком 
в любом конечном интервале 
число точек разрыва непрерывности и экстремальных точек конечно и 3) интеграл 
абсолютно сходится, т. е. главный вектор нагрузки конечен или равен нулю. Эти
довольно общие ограничения дают возможность представить нагрузку, как функцию 
интегралом Фурье-Бесселя, т. е. в виде
где
функция Бесселя нулевого порядка вещественного аргумента.
Условия на поверхности запишутся так: при 
Естественно предположить, что на бесконечности все напряжения равны нулю: при 
Сначала будем искать выражение для 
в виде произведения
Подставляя в уравнение (78.13), получим уравнение для 
(производные берутся по аргументу 
которому соответствует характеристическое уравнение:
Это уравнение уже встречалось (в § 78); корни его 
всегда вещественные или комплексные числа, но не могут быть чисто мнимыми. Выражение (82.5) имеет вид при неравных и 
а при 
Потребуем, чтобы напряжения, найденные по функции 
удовлетворяли условиям на бесконечности (82.4); для этого, очевидно, нужно положить 
Функция 
полученная путем интегрирования по 
выражений (82.8) или (82.9), также является (по крайней мере формально) решением уравнения (78.17). Считая, что 
примем в качестве функции 
выражение:
где 
зависят от параметра 
Соответствующие напряжения, найденные по формулам (78.11), также представятся в виде интегралов; в частности,
функция Бесселя первого порядка). Удовлетворяя условиям (82.3), получим уравнения
Отсюда
Введем для сокращения записи обозначения:
и тогда окончательные формулы для напряжений примут вид (см. работу [58], стр. 49—50 и [20], стр. 274—277):
(см. скан)
Для того чтобы определить напряжения, нужно прежде всего найти функцию 
соответствующую данной нагрузке, по формуле (82.2). При простых распределениях усилий 
вычисление интегралов, входящих в (82.15), не представит большого труда.
На случае равных корней мы останавливаться не будем, так как формулы для него при заданной нагрузке мы получим путем предельного перехода при 
Таким методом мы можем получить и решения задач для случаев, когда на границе, кроме нормальных, задаются касательные симетрично распределенные усилия 
или осесимметричные перемещения 
а также решения смешанных задач (задаются одна составляющая перемещения и одна составляющая напряжений).
