§ 82. Распределение напряжений в упругом полупространстве под действием осесимметричной нормальной нагрузки

Поставим задачу следующим образом. Дано упругое однородное трансверсально-изотропное полупространство, ограниченное бесконечной плоскостью с плоскостями изотропии, параллельными ограничивающей. На этой ограничивающей плоскости по площади некоторого круга распределены нормальные усилия, обладающие симметрией вращения относительно нормали, проведенной через центр круга, принимаемый за начало О цилиндрической системы координат (ось z направлена нормально к границе внутрь).

Рис. 107.

Обозначая через интенсивность нагрузки (рис. 107) мы будем предполагать, что эта функция удовлетворяет условиям: 1) она конечна при всяком в любом конечном интервале число точек разрыва непрерывности и экстремальных точек конечно и 3) интеграл абсолютно сходится, т. е. главный вектор нагрузки конечен или равен нулю. Эти

довольно общие ограничения дают возможность представить нагрузку, как функцию интегралом Фурье-Бесселя, т. е. в виде

где

функция Бесселя нулевого порядка вещественного аргумента.

Условия на поверхности запишутся так: при

Естественно предположить, что на бесконечности все напряжения равны нулю: при

Сначала будем искать выражение для в виде произведения

Подставляя в уравнение (78.13), получим уравнение для

(производные берутся по аргументу которому соответствует характеристическое уравнение:

Это уравнение уже встречалось (в § 78); корни его всегда вещественные или комплексные числа, но не могут быть чисто мнимыми. Выражение (82.5) имеет вид при неравных и

а при

Потребуем, чтобы напряжения, найденные по функции удовлетворяли условиям на бесконечности (82.4); для этого, очевидно, нужно положить

Функция полученная путем интегрирования по выражений (82.8) или (82.9), также является (по крайней мере формально) решением уравнения (78.17). Считая, что примем в качестве функции выражение:

где зависят от параметра Соответствующие напряжения, найденные по формулам (78.11), также представятся в виде интегралов; в частности,

функция Бесселя первого порядка). Удовлетворяя условиям (82.3), получим уравнения

Отсюда

Введем для сокращения записи обозначения:

и тогда окончательные формулы для напряжений примут вид (см. работу [58], стр. 49—50 и [20], стр. 274—277):

(см. скан)

Для того чтобы определить напряжения, нужно прежде всего найти функцию соответствующую данной нагрузке, по формуле (82.2). При простых распределениях усилий вычисление интегралов, входящих в (82.15), не представит большого труда.

На случае равных корней мы останавливаться не будем, так как формулы для него при заданной нагрузке мы получим путем предельного перехода при

Таким методом мы можем получить и решения задач для случаев, когда на границе, кроме нормальных, задаются касательные симетрично распределенные усилия или осесимметричные перемещения а также решения смешанных задач (задаются одна составляющая перемещения и одна составляющая напряжений).