§ 27. Плоская задача для непрерывнонеоднородного прямолинейно-ортотропного тела. Растяжение и изгиб моментами
На основании изложенного в § 22 мы можем получить, как частные случаи, уравнения и граничные условия плоской задачи и родственной ей задачи о растяжении осевой силой и изгибе моментами непрерывно-неоднородного цилиндра (задачи Сен-Венана).
Пусть имеется тело в виде какого-нибудь цилиндра конечной или бесконечной длины с коэффициентами
деформации 
не меняющимися по длине и зависящими 
двух координат. Для простоты мы рассмотрим только ортотропное тело, у которого через каждую точку проходят три плоскости упругой симметрии — нормальная к образующей и две ортогональные и параллельные образующей, причем эти плоскости в разных точках соответственно параллельны. Поместим начало координат в центре тяжести поперечного сечения и направим ось z параллельно образующей, а оси х и у — нормально к плоскостям упругой симметрии; они вообще не совпадают с главными осями инерции сечения.
1. Плоская деформация. Пусть тело, длина которого бесконечна, находится в равновесии под действием усилий, распределенных по боковой поверхности, нормальных к образующей и не меняющихся по длине. Так же, как и в случае однородного тела, полагаем
и получаем
Функция 
удовлетворяет уравнению:
Граничные условия в случае первой основной задачи сводятся к заданию на контуре первых производных 
(с точностью до постоянных слагаемых). Коэффициенты 
связаны с «техническими» упругими характеристиками зависимости 
2. Обобщенное плоское напряженное состояние. В этом случае рассматриваются только средние по толщине напряжения и перемещения 
Напряжения выражаются через функцию напряжений по формулам (27.2). Функция 
удовлетворяет уравнению
(27.4), где нужно заменить коэффициентами 
Последние связаны с «техническими» характеристиками так:
Рис. 29.
3. Растяжение осевой силой и изгиб моментами. Если длина тела и область поперечного сечения конечны и нагрузка распределена только по торцам так, что на каждом из них приводится к осевой силе 
(приложенной в центре тяжести, принятом за начало координат) и к моментам 
относительно осей х, у (рис. 29), то в уравнениях § 22 нельзя заранее полагать 
и тогда мы получаем формулы для напряжений
Функция напряжений удовлетворяет уравнению:
и граничным условиям на контуре поперечного сечения
Функция 
удовлетворяющая уравнению (27.8) и условиям (27.9), будет содержать три постоянные — 
которые найдутся из условий на торцах (и в любом поперечном сечении):
Заметим попутно, что каждое из уравнений (27.10) содержит, вообще говоря, все три неизвестные 
если оси х и у не совпадают с главными осями инерции сечения.
Задача имеет элементарное решение, если коэффициент Пуассона 
зависит только от 
только от у или оба коэффициента Пуассона — величины постоянные. Тогда общий характер распределения напряжений будет таким же, как в однородном брусе:
Единственная из шести составляющих напряжений, не равная нулю, может быть нелинейной функцией х и у, в зависимости от 
