§ 84. Растяжение упругого конуса

Теория осесимметричной деформации трансверсально-изотропного тела дает возможность определить напряжения в коническом стержне, растягиваемом осевой силой (рис. 111).

Предполагается, что в исследуемом конусе (вообще усеченном) плоскости изотропии нормальны к геометрической оси. Иначе говоря, рассматривается упругое равновесие тела, ограниченного поверхностью кругового конуса и двумя торцевыми плоскостями, нормальными к геометрической оси конуса.

Рис. 111.

Один торец предполагается как-то закрепленным (например, широкий торец), а другой — нагруженным усилиями, приводящимися к силе Примем вершину конической поверхности за начало координат цилиндрической системы и направим ось z по

геометрической оси. Угол при вершине обозначим через 2а, длину стержня — через I и расстояния от вершины до узкого и широкого торцов — через

Граничные условия на боковой поверхности запишутся таким образом:

Рассекая тело плоскостью, нормальной к оси z, добавим к условиям (84.1) условие равновесия

оно, очевидно, должно выполняться при любом расстоянии z от вершины, а в том числе и на торцах Кроме того, напряжения должны быть конечными в любой точке, кроме вершины (если рассматривается равновесие полного конуса), а по мере удаления от вершины должны стремиться к нулю.

Пусть параметры неравны. Тогда функцию можно представить в виде суммы

При таком выборе можно удовлетворить всем условиям, как точным на боковой поверхности (84.1), так и условиям равновесия (84.2). Соответствующие напряжения определим по формулам (78.11)-(78.12); они будут зависеть от трех постоянных —

Для того чтобы напряжения были конечными (за исключением вершины, если тело имеет форму полного конуса), необходимо положить

Тогда выражения для напряжений, определенные по

функции по формулам (78.11), запишутся так:

(см. скан)

Здесь введены обозначения:

Наконец, удовлетворяя условиям (84.11) и (84.2), находим выражения для постоянных

(см. скан)

где

Формулы (84.5) вместе с (84.7), (84.8) вполне определяют напряжения в упругом усеченном конусе при

любом угле мы не будем их дальше преобразовывать, а примем за окончательные. Длина I и расстояние в них не входят, а следовательно, распределение (84.5)-(84.8) имеет место при любых значениях I и 10.

Распределение напряжений в конусе обладает теми же особенностями, что и распределение напряжений в полупространстве под действием нормальной силы. Напряжения меняются обратно пропорционально квадрату расстояния от вершины. Полное напряжение на площадках, нормальных к оси, направлено по радиус-векторам (или в противоположную сторону).

Путем предельного перехода при приходим к известным формулам для изотропного конуса, растягиваемого осевой силой