Главная > Теория упругости анизотропного тела
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава 9. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

В последней, девятой главе рассматривается второй вид напряженно-деформированного состояния, при котором тело вращения, деформируясь, остается телом вращения; в этом случае говорят об осесимметричной деформации. Теория осесимметричной деформации разработана со всей полнотой только для тела изотропного и тела, обладающего анизотропией частного вида — трансверсально-изотропного. В этой главе мы всегда будем предполагать, что рассматриваемое тело является трансверсально-изотропным; из формул для него получаются формулы для изотропного тела как частные случаи.

§ 78. Общие уравнения осесимметричной деформации. Функция напряжений

Представим себе тело из упругого однородного транссерсально-изотропного материала, ограниченное одной или несколькими коаксиальными поверхностями вращения, находящееся в равновесии под действием внешних усилий, поверхностных и объемных. Предположим, что плоскости изотропии, проходящие через каждую точку тела, нормальны к геометрической оси его (оси вращения), а распределение усилий обладает симметрией вращения относительно той же оси.

Отнесем тело к цилиндрической системе координат , поместив начало координат в какой-нибудь точке на геометрической оси (например, в центре крайнего сечения) и направив ось z по этой оси, а полярную ось х

произвольно в плоскости поперечного сечения (рис. 104). Обозначим через проекции поверхностных усилий на координатные направления и через проекции объемных сил Как обычно, поверхностные силы относим к единице площади, а объемные — к единице объема. Уравнения обобщенного закона Гука запишутся так же, как и в декартовой системе

Рис. 104.

Всего мы имеем пять независимых упругих постоянных. Решив (78.1) относительно составляющих напряжений, получим уравнения обобщенного закона Гука в другой форме:

Выражая коэффициенты через имеем:

Здесь

Коэффициенты деформации и модули упругости

можно выразить и через технические константы (см. (4.9)):

где модули Юнга для растяжения и сжатия в плоскости изотропии и в направлении, перпендикулярном к ней, коэффициент Пуассона, характеризующий сокращение в плоскости изотропии при растяжении в той же плоскости, коэффициент Пуассона, характеризующий сокращение в направлении, нормальном к плоскости изотропии при растяжении в этой плоскости, модули сдвига для плоскостей изотропии и перпендикулярных (радиальных). Выражений А и через мы приводить не будем.

В силу симметрии в распределении усилий и упругой симметрии радиальные сечения останутся плоскими и тело останется телом вращения и в деформированном состоянии, т. е.

Отсюда следует, что остальные составляющие деформации не будут зависеть от 0, причем

Четыре составляющие напряжений, не равные нулю, удовлетворяют двум уравнениям равновесия:

(третье уравнение превращается в тождество).

Присоединяя сюда первое, второе, третье и пятое уравнения обобщенного закона Гука (78.1) или (78.2), получим систему шести независимых уравнений для определения шести неизвестных функций

Остановимся на случае отсутствия объемных сил, т. е. примем Исключая перемещения из выражений для составляющих деформации (78.7), получим зависимости:

Подставляя сюда выражения для деформаций из уравнений (78.1), получим

Присоединяя сюда (78.8), будем иметь четыре уравнения для четырех неизвестных — составляющих напряжений.

Первому уравнению равновесия (при и уравнениям (78.10) мы можем удовлетворить, введя функцию напряжений которая является обобщением функции напряжений для изотропного тела. Для транс-версально-изотропного тела выражения напряжений через имеют вид:

где

Из второго уравнения равновесия (78.8) (при получаем уравнение для функции напряжений:

С дифференциальным уравнением четвертого порядка (78.13) связано алгебраическое уравнение

корни которого равны

Введя дифференциальные операторы

можно записать уравнение (78.13) очень просто (см. [20], стр. 259 и [58]):

Операторы и можно переставлять, так как легко убедиться, что

Относительно чисел зависящих от упругих постоянных можно доказать следующую теорему.

Теорема. Числа для любого трансеерсально-изотпропного упругого тела могут быть только

вещественными или комплексными (с вещественной частью, не равной нулю), но не могут быть чисто мнимыми.

Доказывается эта теорема тем же методом, что и теоремы 1—4, рассмотренные в § 20. Выражение упругого потенциала для трансверсально-изотропного тела запишется так:

Задавая значения напряжений в виде

где к и произвольные вещественные числа и получим

При всяких вещественных имеем: Так как всегда (см. [8], или [47]), то мы получаем

при всяких вещественных а следовательно, уравнение

не может иметь вещественных корней. Но параметры связаны с корнями уравнения соотношениями:

в чем можно убедиться, решив уравнение (78.22) и сопоставив решение с (78.15), а следовательно, они не могут быть чисто мнимыми. Квадраты параметров и корней могут быть вещественными или комплексными числами. Это следует из формул (78.23); они могут быть и чисто мнимыми (если вещественная часть равна по абсолютной величине мнимой).

Граничные условия в случае заданных на боковой поверхности усилий сводятся к условиям на меридиане поверхности вращения и имеют вид

При заданных на поверхности перемещениях имеем условия:

В том и другом случае заданные усилия или перемещения можно считать функциями дуги меридиана радиального сечения или какого-нибудь другого параметра, определяющего положение точки на этой кривой.

Из приведенных уравнений и формул для трансверсально-изотропного тела, как частный случай, получаются уравнения и формулы для изотропного тела. В случае изотропного тела с модулем Юнга и коэффициентом Пуассона имеем:

Введя новую функцию

получим из (78.11) известные формулы:

где

Функция удовлетворяет уравнению

т. е. является бигармонической (см. [24], стр. 288).

1
Оглавление
email@scask.ru