Глава 9. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

В последней, девятой главе рассматривается второй вид напряженно-деформированного состояния, при котором тело вращения, деформируясь, остается телом вращения; в этом случае говорят об осесимметричной деформации. Теория осесимметричной деформации разработана со всей полнотой только для тела изотропного и тела, обладающего анизотропией частного вида — трансверсально-изотропного. В этой главе мы всегда будем предполагать, что рассматриваемое тело является трансверсально-изотропным; из формул для него получаются формулы для изотропного тела как частные случаи.

§ 78. Общие уравнения осесимметричной деформации. Функция напряжений

Представим себе тело из упругого однородного транссерсально-изотропного материала, ограниченное одной или несколькими коаксиальными поверхностями вращения, находящееся в равновесии под действием внешних усилий, поверхностных и объемных. Предположим, что плоскости изотропии, проходящие через каждую точку тела, нормальны к геометрической оси его (оси вращения), а распределение усилий обладает симметрией вращения относительно той же оси.

Отнесем тело к цилиндрической системе координат , поместив начало координат в какой-нибудь точке на геометрической оси (например, в центре крайнего сечения) и направив ось z по этой оси, а полярную ось х

произвольно в плоскости поперечного сечения (рис. 104). Обозначим через проекции поверхностных усилий на координатные направления и через проекции объемных сил Как обычно, поверхностные силы относим к единице площади, а объемные — к единице объема. Уравнения обобщенного закона Гука запишутся так же, как и в декартовой системе

Рис. 104.

Всего мы имеем пять независимых упругих постоянных. Решив (78.1) относительно составляющих напряжений, получим уравнения обобщенного закона Гука в другой форме:

Выражая коэффициенты через имеем:

Здесь

Коэффициенты деформации и модули упругости

можно выразить и через технические константы (см. (4.9)):

где модули Юнга для растяжения и сжатия в плоскости изотропии и в направлении, перпендикулярном к ней, коэффициент Пуассона, характеризующий сокращение в плоскости изотропии при растяжении в той же плоскости, коэффициент Пуассона, характеризующий сокращение в направлении, нормальном к плоскости изотропии при растяжении в этой плоскости, модули сдвига для плоскостей изотропии и перпендикулярных (радиальных). Выражений А и через мы приводить не будем.

В силу симметрии в распределении усилий и упругой симметрии радиальные сечения останутся плоскими и тело останется телом вращения и в деформированном состоянии, т. е.

Отсюда следует, что остальные составляющие деформации не будут зависеть от 0, причем

Четыре составляющие напряжений, не равные нулю, удовлетворяют двум уравнениям равновесия:

(третье уравнение превращается в тождество).

Присоединяя сюда первое, второе, третье и пятое уравнения обобщенного закона Гука (78.1) или (78.2), получим систему шести независимых уравнений для определения шести неизвестных функций

Остановимся на случае отсутствия объемных сил, т. е. примем Исключая перемещения из выражений для составляющих деформации (78.7), получим зависимости:

Подставляя сюда выражения для деформаций из уравнений (78.1), получим

Присоединяя сюда (78.8), будем иметь четыре уравнения для четырех неизвестных — составляющих напряжений.

Первому уравнению равновесия (при и уравнениям (78.10) мы можем удовлетворить, введя функцию напряжений которая является обобщением функции напряжений для изотропного тела. Для транс-версально-изотропного тела выражения напряжений через имеют вид:

где

Из второго уравнения равновесия (78.8) (при получаем уравнение для функции напряжений:

С дифференциальным уравнением четвертого порядка (78.13) связано алгебраическое уравнение

корни которого равны

Введя дифференциальные операторы

можно записать уравнение (78.13) очень просто (см. [20], стр. 259 и [58]):

Операторы и можно переставлять, так как легко убедиться, что

Относительно чисел зависящих от упругих постоянных можно доказать следующую теорему.

Теорема. Числа для любого трансеерсально-изотпропного упругого тела могут быть только

вещественными или комплексными (с вещественной частью, не равной нулю), но не могут быть чисто мнимыми.

Доказывается эта теорема тем же методом, что и теоремы 1—4, рассмотренные в § 20. Выражение упругого потенциала для трансверсально-изотропного тела запишется так:

Задавая значения напряжений в виде

где к и произвольные вещественные числа и получим

При всяких вещественных имеем: Так как всегда (см. [8], или [47]), то мы получаем

при всяких вещественных а следовательно, уравнение

не может иметь вещественных корней. Но параметры связаны с корнями уравнения соотношениями:

в чем можно убедиться, решив уравнение (78.22) и сопоставив решение с (78.15), а следовательно, они не могут быть чисто мнимыми. Квадраты параметров и корней могут быть вещественными или комплексными числами. Это следует из формул (78.23); они могут быть и чисто мнимыми (если вещественная часть равна по абсолютной величине мнимой).

Граничные условия в случае заданных на боковой поверхности усилий сводятся к условиям на меридиане поверхности вращения и имеют вид

При заданных на поверхности перемещениях имеем условия:

В том и другом случае заданные усилия или перемещения можно считать функциями дуги меридиана радиального сечения или какого-нибудь другого параметра, определяющего положение точки на этой кривой.

Из приведенных уравнений и формул для трансверсально-изотропного тела, как частный случай, получаются уравнения и формулы для изотропного тела. В случае изотропного тела с модулем Юнга и коэффициентом Пуассона имеем:

Введя новую функцию

получим из (78.11) известные формулы:

где

Функция удовлетворяет уравнению

т. е. является бигармонической (см. [24], стр. 288).