§ 50. Совместное действие скручивающих и изгибающих моментов

Рассмотрим некоторые случаи равновесия стержня, на оба конца которого действуют как скручивающие так и изгибающие (в главных плоскостях) моменты Оси координат расположим как на рис. 81; оси х и у направим по главным осям инерции одного из торцов [20]. Если материал тела изотропен и деформации малы, то действие скручивающих и изгибающих моментов можно рассматривать независимо друг от друга: скручивающие моменты вызывают кручение, а изгибающие — изгиб в главных плоскостях.

Рис. 81.

В анизотропном стержне, обладающем анизотропией общего вида, этого не будет: скручивающие моменты вызывают кручение и изгиб, а изгибающие — изгиб, сопровождающийся закручиванием. В случае, когда боковая поверхность не нагружена и не закреплена, в стержне с прямолинейной анизотропией и однородном имеем

Остальные пять составляющих напряжений определятся по формулам (49.2). Функции напряжений удовлетворяют уравнениям (19.2), куда нужно подставить значения постоянных

Определив составляющие напряжений, найдем перемещения, в которых постоянные определятся из условий закрепления. В частности, если жестко закреплен элемент оси, проходящий через центр сечения получим выражения для перемещений:

Функции удовлетворяют системе уравнений (18.12), (18.15); величины, отмеченные нуликами, — значения функций переменных х, у при В результате для функции получаем выражение вида

где функция такая же, как в случае обобщенного кручения, зависящая от формы и размеров поперечного сечения и от упругих постоянных. Из уравнения (49.16) определяем относительный угол закручивания:

Проекции изогнутой оси на плоскости xz и yz равны:

Эти формулы показывают, что при произвольных стержень изгибается и закручивается. Однако моменты можно подобрать так, что не будет либо изгиба, либо закручивания.

1. Кручение без изгиба. Подберем моменты следующим образом:

Тогда , т. е. ось стержня останется прямолинейной и будет происходить только кручение. Относительный угол закручивания равен:

Жесткость при кручении С будет, очевидно, больше жесткости при обобщенном кручении.

2. Изгиб без закручивания. Подбирая моменты, мы можем добиться того, что стержень будет изгибаться в одной из главных плоскостей (например, и изгиб не будет сопровождаться закручиванием. Полагая и решая получившиеся уравнения относительно находим

Уравнение изогнутой оси (в плоскости будет иметь вид

Для такого же стержня, изгибаемого только моментом получим уравнение изогнутой оси: или, подробно:

Сопоставление этих двух уравнений показывает, что если к стержню приложить моменты препятствующие его закручиванию, то жесткость изгиба его увеличивается: она будет равна не величине а определится по формуле

В этом случае напряженное состояние будет сложным: составляющие напряжения определятся с помощью функций или и в общем случае все отличны от нуля.