§ 69. Изгиб неоднородной ортотропной консоли прямоугольного сечения

Наметим ход решения одной из самых простых задач об изгибе неоднородной консоли поперечной силой [74]. Пусть имеется консоль прямоугольного сечения, с размерами длина), ортотропная, с плоскостями упругой симметрии, параллельным граням параллелепипеда. Направим оси х, у, z, как показано на рис. 95 и предположим, что модули зависят только от у, а коэффициенты Пуассона постоянны. На основании изложенного в предыдущем параграфе три составляющих напряжения равны нулю:

Нормальное напряжение в поперечном сечении равно:

но из первого уравнения равновесия (68.5) следует, что и

Можно считать очевидным, что сила не вызовет закручивания и, следовательно, Постоянные

определятся из уравнений равновесия (68.14) в зависимости от того, как задано для них получаются два уравнения, которых мы выписывать не будем. Третье уравнение равновесия сплошной среды (68.5) имеет вид

Будем считать известными (определенными по заданному модулю и возьмем решение (69.4) в форме

Оставшиеся два напряжения определяются по формулам

где функция напряжений удовлетворяет в данном случае уравнению

Далее задача решается по такому же плану, как и задача об однородной консоли. Раскладываем правую часть уравнения (69.7) в ряд Фурье на интервале и вместо (69.7), после элементарных преобразований, получаем уравнение

Разыскиваем выражение для также в виде ряда

Получаем уравнение для

общий интеграл которого имеет вид

Для функции напряжений получаем выражение, сходное с выражением для функции напряжений при кручении неоднородного ортотропного стержня (см. (58.6)):

Дальнейшая работа по отысканию решения задачи об изгибе консоли сводится, с одной стороны, к определению частных решений уравнения (69.10), соответствующих заданным (функций переменной и, с другой стороны, — к определению постоянных из граничных условий на сторонах (условия на двух других сторонах, очевидно, удовлетворены).

Укажем частные решения для случая, когда модули являются экспоненциальными функциями координаты у. Пусть

где любое вещественное число, не равное нулю.

Тогда линейно-независимые решения однородного уравнения, соответствующего (69.10), и частное решение неоднородного уравнения будут иметь следующий вид:

Здесь, кроме введенных ранее, имеются новые обозначения:

Этими замечаниями мы и ограничимся, помня, что задача об изгибе неоднородной ортотропной консоли очень близка к задаче о кручении такого же стержня, рассмотренной более подробно в § 58 и 59.