Глава 1. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ АНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА

Настоящая глава носит вводный характер. В ней мы напоминаем основные положения теории упругости и общие уравнения, которые в дальнейшем используются для построения решений конкретных задач теории упругости анизотропного тела.

§ 1. Напряженное и деформированное состояния сплошного тела

Изучая напряженное и деформированное состояния анизотропных тел, вызванные какой-либо внешней нагрузкой, мы примем ряд предположений и ограничений. Важнейшие из них сводятся к следующему:

1. Тело является сплошным (сплошной средой), причем напряжения на любой площадке внутри и на поверхности являются силами, отнесенными к единице площади. Иначе говоря, моментными напряжениями, которые вводятся в ряде современных работ, мы пренебрегаем, как это делается в классической теории упругости.

2. Связь между компонентами деформации и проекциями перемещения и их первыми производными по координатам является линейной, т. е. мы рассматриваем только малые деформации.

3. Между компонентами напряжений и деформаций существую! линейные зависимости, т. е. материал следует обобщенному закону Гука, причем коэффициенты этих линейных зависимостей могут быть как постоянными (однородное тело), так и переменными функциями координат, непрерывными или прерывными (в случае неоднородного тела).

4. Начальных, т. е. существующих без внешней нагрузки, напряжений, в том числе и температурных, не учитываем; конкретных задач динамики не рассматриваем.

Таким образом, мы подходим к теории упругости анизотропного тела с позиций классической линейной теории упругости однородного или неоднородного тела. При этом, конечно, из нашего поля зрения выпадают динамические задачи, задачи об устойчивости и колебаниях, о больших деформациях и некоторые другие и задачи для неупругого анизотропного тела.

Рассматривая конкретные задачи, мы будем пользоваться главным образом декартовыми или цилиндрическими ортогональными координатами и лишь в отдельных случаях сферическими.

Укажем прежде всего важнейшие обозначения, которыми мы пользуемся.

Координаты точек в трехмерном пространстве будем обозначать для разных систем координат так: х, у, z - декартовы, цилиндрические, сферические.

Этими же буквами обозначаем координатные направления.

На площадках, нормальных к координатным направлениям, действуют напряжения, каждое из которых мы раскладываем на три составляющие — нормальную (нормальное напряжение) и две касательные (касательные напряжения). Нормальные напряжения обозначаем буквой а с одним индексом, указывающим направление нормали к площадке (и напряжения). Касательные напряжения обозначаем буквой с двумя индексами (направление нормали к площадке и направление напряжения). На площадках, нормальных к осям декартовой системы координат, имеем составляющие напряжений:

Составляющие напряжений образуют тензор напряжений; он часто записывается в виде матрицы, которая из соображений равновесия бесконечно малого элемента тела

оказывается симметричной (а тензор, следовательно, оказывается симметричным):

Ранг тензора — второй.

Выражения для тензоров напряжения в цилиндрической и сферической системах запишутся таким образом:

На рис. 1 показаны площадки, нормальные к координатным направлениям декартовой и цилиндрической систем координат, и составляющие напряжений на них, которые мы все принимаем положительными.

Рис. 1.

Зная составляющие напряжений в точке (из которых независимых будет, следовательно, только шесть) на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через какую-нибудь точку тела, мы можем определить напряжения на любой четвертой нлощадке, проходящей через ту же точку. Обозначая через нормаль к четвертой площадке и

через проекции напряжения, действующего на эту площадку, на оси имеем три формулы, по которым и определим искомые проекции:

Аналогичные формулы можно записать в цилиндрических, сферических и других криволинейных координатах. Кроме декартовых, у нас встретятся только цилиндрические и сферические координаты.

В этой же главе при выводе некоторых теоретических положений мы используем и другие обозначения для составляющих напряжений: — нормальные напряжения, — касательные напряжения.

Проекции перемещения точки на оси координат — декартовых, цилиндрических и сферических — обозначим следующим образом:

декартовы,

цилиндрические,

сферические.

Деформация тела в окрестности данной точки характеризуется составляющими деформации — тремя относительными удлинениями и тремя относительными сдвигами. Первые три мы будем обозначать буквой с индексом, указывающим первоначальное направление отрезка, который удлиняется или укорачивается, вторые — буквой у с двумя индексами, указывающими первоначальные перпендикулярные направления (например, относительные удлинения отрезков, первоначально параллельных х и у, — изменение угла между отрезками, первоначальные направления которых были х

Составляющие деформации образуют симметричный тензорвторого ранга. Будучи записанным с помощью матрицы, он для декартовой системы х, у, z имеет вид

Для других ортогональных систем координат эта матрица запишется аналогично и мы приводить ее не будем.

Укажем далее связь между составляющими деформации (в отдельных случаях мы будем обозначать их и проекциями перемещения в трех системах координат.

1) Декартова система:

2) Цилиндрическая система:

3) Сферическая система:

Если деформации не являются малыми, то относительные удлинения и сдвиги связаны с перемещениями.

нелинейными соотношениями. Приведем для примера зависимости для декартовой системы координат:

Остальные три компонента мы найдем из (1.5) путем круговой перестановки индексов.

Наконец, что нам будет необходимо в дальнейшем, это — дифференциальные уравнения равновесия и движения сплошной среды (не обязательно упругой). Уравнения равновесия запишем следующим образом, обозначая через и соответственно проекции объемных сил на координатные направления (отнесенных к единице объема).

1) Декартова система координат:

2) Цилиндрическая система:

3) Сферическая система:

Из уравнений равновесия легко получить уравнения движения, добавляя к объемным силам инерционные члены. Инерционные члены равны плотности умноженной на проекции ускорения с обратным знаком, которые обычно выражают через проекции перемещения. Так, например, для декартовой системы координат при малых деформациях к функциям нужно добавить:

(перемещения — функции координат точек тела до деформации и времени t). В дальнейшем на протяжении этой книги нам другие уравнения движения не понадобятся, а поэтому мы сказанным и ограничимся.