§ 70. Равновесие консоли, обладающей цилиндрической анизотропией, под действием поперечной силы

Рассмотрим также напряженное состояние однородной консоли, материал которой обладает цилиндрической анизотропией, выведем уравнения для определения напряжений и перемещений и дадим конкретный пример. Мы будем считать консоль цилиндрически-ортотропной; обобщение решения на случай, когда имеется только одна плоскость упругой симметрии или когда они отсутствуют, не составляет большого труда, только уравнения несколько усложнятся.

Пусть имеется консоль, ограниченная поверхностью произвольного цилиндра. Внутри данного тела, по поверхности или снаружи проходит ось анизотропии, которую мы примем за ось z цилиндрической системы координат; во всех случаях она параллельна образующей. Через каждую точку проходят три плоскости упругой симметрии: нормальная к оси анизотропии, проходящая через ось и ортогональная к этим двум. Один торец консоди закреплен, а к другому приложена изгибающая сила линия действия которой проходит через центр тяжести О и совпадает с одной из главных осей инерции области поперечного сечения (последняя предполагается конечной). Отнесем тело к двум системам координат: 1) х,у, z, у которой ось z параллельна образующей, но вообще не совпадает с осью анизотропии, а х, у направлены по главным осям инерции сечения; 2) х, у, z, у которой ось z совпадает с осью анизотропии, а х, у параллельны осям X и у.

От оси х будем отсчитывать полярный угол а от начала О — полярную координату Координаты точки О в системе х, у обозначим через (рис. 96).

В консоли изотропной или анизотропной однородной с плоскостью упругой симметрии, нормальной к оси, получается распределение напряжений, которое, как уже было отмечено выше, характеризуется следующим: напряжение пропорционально изгибающему моменту:

составляющие не зависят от z, а остальные, равны нулю. Легко показать, что такое распределение возможно лишь в случае ортотропного тела, у которого

Рис. 96.

Если условие (70.2) не выполнено, то для того, чтобы получить уравнения и решение задачи, нужно исходить из более общих [предположений. Предположим, что все шесть составляющих напряжений не равны нулю, но из них две, не зависят от z, а остальные пропорциональны

Тогда основная система уравнений теории упругости для рассматриваемого тела запишется так:

Так как консоль предполагается однородной, то все постоянные.

С этой системой поступим так же, как с системами, рассмотренными раньше при исследовании других проблем: интегрируя уравнения третье, четвертое, пятое (из (70.5)), получаем выражения для перемещений, содержащие произвольные функции переменных Далее удовлетворяем уравнениям первому, второму и шестому и вводим функции напряжений, тождественно удовлетворяющие уравнениям (70.4). В результате получаем все уравнения, необходимые для определения напряжений и перемещений. После преобразований приходим к следующим результатам.

Перемещения определятся по формулам:

Здесь постоянные, которые определятся из условий равновесия части консоли произвольной длины «жесткие» смещения, определяемые по формулам (23.13); они содержат шесть постоянных, которые должны быть найдены из условий закрепления.

Функции удовлетворяют уравнениям

В уравнениях приведенные Коэффициенты деформации:

Исключая из (70.7) и из (70.8) путем дифференцирования и вычитания, мы получим два уравнения, связывающие компоненты напряжения. Вводим затем две функции напряжений и как в задачах о плоской деформации и о кручении:

какое-нибудь частное решение третьего уравнения равновесия Для напряжения получаем формулу:

Из уравнений, полученных путем исключения из (70.7) ийиз (70.8), найдем уравнения, которым удовлетворяют функции напряжений:

На боковой поверхности должны выполняться условия, которые в случае односвязной области сечения после

интегрирования по дуге контура принимают вид

Постоянные определятся, как было сказано, из условий равновесия. В цилиндрических координатах эти условия будут иметь такой вид:

Здесь площадь поперечного сечения, моменты инерции относительно главных осей интегралы берутся по площади поперечного сечения.

Напряжения то, характерные для изгиба, сопровождаются напряжениями характерными для плоской задачи; разделить эти системы напряжений оказывается возможным в ортотропном теле, у которого

Ход решения таков. Сначала определяем функцию т. е. решаем задачу о плоской деформации; найденная функция будет содержать три постоянные, которые мы определим из трех первых уравнений (70.15). Определив напряжения далее из уравнений (70.7) находим функции входящие в уравнение (70.13), которому удовлетворяет

Постоянная найдется из четвертого условия (70.15).