§ 86. Распределение напряжений в стенке сферического сосуда под действием внутреннего и наружного давлений

В заключение рассмотрим упругое тело в форме полой сферы (сферический сосуд), на которое действует внутреннее давление равномерно распределенное по поверхности и наружное давление также распределенное равномерно.

Задача об упругом равновесии изотропной сферы, полой или сплошной, довольно хорошо изучена. Если же

сфера неизотропна, то для нее число изученных случаев значительно меньше. Мы рассмотрим лишь самую простую задачу для анизотропной полой сферы, решенную еще Сен-Венаном [124]. Именно, мы будем считать, что материал данного тела обладает трансверсальной изотропией относительно любого радиус-вектора, проведенного из общего центра сфер в данную точку.

Исследование удобнее всего вести, пользуясь сферической системой координат с началом в центре сфер. Оси от которых отсчитываются углы направлены произвольно, образуя друг с другом прямой угол (рис. Введем обозначения: внешний и внутренний радиусы; составляющие напряжений на площадках, нормальных к координатным направлениям - относительные удлинения и сдвиги для координатных направлений.

Рис. 113.

Уравнения обобщенного закона Гука в сферической системе координат можно записать по-разному. Если ввести технические константы, то уравнения примут вид

Здесь модули Юнга для растяжения вдоль радиус-вектора и в направлении, перпендикулярном к нему; коэффициент Пуассона, характеризующий

поперечное сокращение в направлениях, перпендикулярных к при растяжении в направлении коэффициент Пуассона, характеризующий сокращение в плоскости, нормальной к радиус-вектору при растяжении в той же плоскости, модули сдвига для плоскостей, нормальных к и для плоскостей, проходящих через центр (диаметральных). Уравнения обобщенного закона Гука, решенные относительно составляющих напряжений, имеют такой вид:

Модули упругости связаны с следующим образом:

где

Очевидно, что распределение напряжений и деформаций при указанных упругих свойствах будет зависеть только от одной переменной а все точки будут перемещаться при деформации только в радиальиых направлениях. Обозначив единственную составляющую перемещения (радиальную) через и имеем составляющие деформации, отнесенные к сферическим координатам:

Так как все сдвиги равны нулю, то и пропорциональные им касательные напряжения будут равны нулю: Из уравнений равновесия сплошного тела, отнесенных к сферической системе координат, остается только одно:

Условия на поверхностях — наружной и внутренней — будут:

В данной задаче удобнее использовать не функции напряжений, а принять за основную функцию перемещение и. Подставляя первые три выражения для напряжений из уравнений обобщенного закона Гука (86.2) в (86.6), получим уравнение для перемещения:

Введем обозначения:

Общий интеграл уравнения (86.8) имеет вид

Подставляя в (86.2) и определяя постоянные из условий на поверхностях (86.7), находим

Получаем формулы для составляющей напряжений:

Наибольших значений напряжение достигает на площадках, проходящих через радиус-вектор, у внутренней или у наружной поверхности. Обозначая отношение радиусов через имеем:

у поверхности полости

у наружной поверхности

Какая из двух величин, стоящих в правых частях равенств (86.14) и (86.15), больше (по абсолютной величине) и какая меньше, заранее сказать невозможно.

В случае изотропного материала и формулы (86.13) дают известное решение