§ 43. Распределение напряжений в полом однородном цилиндре под действием осевой силы и изгибающего момента

Рассмотрим упругое равновесие трубы из однородного материала с цилиндрической анизотропией, которая имеет конечную длину и деформируется усилиями, распределенными по торцам. Как именно распределены усилия, по какому закону, - не задается, но известно, что на каждом торце они приводятся к силе, величина которой равна направленной по оси в ту или в другую сторону. Один торец может быть закрепленным и на нем возникает реакция, равная силе на другом торце и направленная в противоположную сторону (рис. 72).

Распределение напряжений мы пол учим по формулам (41.13), положив в них и определив постоянные из условий на торцах (41.8), где Так как ход решения для трубы с произвольной цилиндрической анизотропией совершенно ясен, но приводит к довольно громоздким формулам, то мы рассмотрим только частный случай анизотропии, когда имеются плоскости упругой симметрии, нормальные к геометрической оси z (которая, напомним, является одновременно и осью анизотропии

Рис. 72.

Результаты сводятся к следующему. Обозначения те же, что в § 41 и 42, и, кроме того,

Напряжения определяются по формулам (см. [60] и [20]):

Здесь

При этом во всех формулах предполагается, что значит,

При неравных коэффициентах напряжение распределяется по поперечному сечению неравномерно и сопровождается напряжениями в продольных сечениях, характерными для трубы, находящейся под давлением. На внутренней и внешней поверхностях получаем: при

Если анизотропия цилиндра такова, что то, следовательно, Получаем совсем простое, элементарное распределение напряжений:

как в изотропном растянутом полом стержне с радиусами а и

Рис. 73.

Рассмотрим теперь такой же полый цилиндр, но деформируемый усилиями, распределенными по торцам и приводящимися к изгибающему моменту на каждом торце. Так же как и в случае силы, закон распределения усилий не задается; задается только действующий в плоскости, проходящей через геометрическую ось (рис. 73). Геометрическая ось совпадает с осью цилиндрической анизотропии, причем рассматривается не самый общий случай анизотропии, а случай орготропного тела,

у которого через каждую точку проходят три плоскости упругой симметрии — нормальная к образующей, т. е. совпадающая с плоскостью поперечного сечения, проходящая через ось и ортогональная к этим двум.

Будем считать, что объемные силы отсутствуют. В уравнении (39.9) положим а также и тогда оно запишется подробно следующим образом [60]:

Будем искать решение этого уравнения в виде:

Получим для уравнение четвертого порядка и проинтегрировав его, — выражение для

Здесь — произвольные постоянные,

Напряжения определим по формулам:

Постоянные найдем из граничных условий:

(кликните для просмотра скана)

Формулы чрезвычайно упрощаются, если коэффициенты Пуассона, выражающие сокращение в радиальном направлении и в тангенциальном направлении при растяжении в осевом направлении, одинаковы: и принимают такой же вид, как для изотропной трубы при чистом изгибе моментами:

момент инерции кольца относительно диаметра).