§ 54. Чистое кручение однородного ортотронного стержня эллиптического или кругового сечения

Рассмотрим ортотропный стержень эллиптического сечения, у которого одна из плоскостей упругой симметрии нормальна к оси z или образующей, а две другие параллельны оси. Эти две плоскости необязательно в данной точке пересекают плоскость сечения по линиям, параллельным главным осям эллипса; линия пересечения одной из этих двух плоскостей упругой симметрии с главной осью эллипса образует угол а, не равный 0° и 90° (рис. 83).

Рис. 83.

Обозначим через коэффициенты деформации для направлений главных осей эллипса х, у и через длины главных полуосей эллипса. Рассматривая простое или чистое кручение, мы будем обозначать скручивающий момент и жесткость при кручении — (без индекса t). В данном случае формулы для функций напряжений, жесткости при кручении, напряжений и перемещений мы определим совершенно элементарным путем на основании §§ 51, 53 и получим, как при совместном действии изгибающих и скручивающих моментов (при

Составляющие напряжений не зависят от упругих постоянных. Жесткость является функцией и угла а, который образует главное направление упругости с направлением главной оси эллипса (рис. 83).

Обозначим через модули сдвига для главных направлений упругости — отношения главных

Таблица 19 (см. скан) Значения отношения эллиптического сечения

модулей и осей эллипса: Выражения для и жесткости запишутся так:

Жесткость будет наибольшей, если плоскость упругой симметрии с наибольшим модулем сдвига проходит через большую ось 2а сечения , и наименьшей, если эта плоскость проходит через малую ось эллипса . Эти наибольшая и наименьшая жесткости равны (см. [29], стр. 57—59):

В таблице 19 приведены численные значения отношения различных а для двух значений отношения главных модулей сдвига: и пяти значений отношения главных осей эллипса .

Из таблицы видно, что при отношение жесткостей невелико (не больше двух), однако при большой разнице между модулями сдвига, т.е. при малом разница

между наибольшей и наименьшей жесткостями становится значительной, особенно для вытянутых эллипсов.

На рис. 84 показаны графики изменения отношений в зависимости от угла для двух значений и двух значений отношения осей эллипса с.

Рис. 84.

Укажем еще значение функции кручения для стержня эллиптического сечения, характеризующей искривление плоскости этого сечения при кручении (стержень ортотропный, плоскости упругой симметрии параллельны плоскостям, проходящим через ось z и главные оси эллипса